Calculadora de la función de Carmichael λ(n)

Calculadora de la función de Carmichael λ(n) | Herramienta online gratis | Elysia Tools

Guía de uso de la herramienta

Conoce cuándo usar esta herramienta, qué admite y cómo la aplican los usuarios.

Datos clave

Categoría: Math & Numbers
Tipos de entrada: text, select
Tipo de salida: text
Cobertura de ejemplos: 4
API disponible: Sí

Resumen

La Calculadora de la función de Carmichael λ(n) determina el exponente del grupo multiplicativo (Z/nZ)* a partir de la descomposición en factores primos del entero n. El cálculo evalúa el mínimo común múltiplo de las funciones de Carmichael de cada potencia prima, compara el resultado con la función φ de Euler, analiza la existencia de raíces primitivas y comprueba el criterio de Korselt para identificar si el valor corresponde a un número de Carmichael.

Cuándo usarlo

Al calcular el menor exponente universal k tal que a^k ≡ 1 (mod n) para todo entero a coprimo con n.
Al verificar si un número compuesto cumple el criterio de Korselt y se comporta como un pseudoprimo absoluto (número de Carmichael).
Al estudiar la estructura algebraica de grupos modulares (Z/nZ)* para determinar la presencia de raíces primitivas o el orden máximo de sus elementos.

Cómo funciona

1Se descompone el entero n (hasta 10¹²) en sus factores primos componentes.
2Se calcula el valor λ(p^k) para cada potencia prima: λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k-2) para k ≥ 3, y λ(p^k)=φ(p^k) para primos impares.
3Se calcula el mínimo común múltiplo (mcm) de todos los valores λ(p^k) para obtener λ(n), comparándolo con φ(n) y evaluando la divisibilidad λ(n) | (n - 1).
4Si se selecciona la opción de verificación, se comprueba empíricamente la congruencia a^λ(n) ≡ 1 (mod n) sobre unidades de muestra coprimas con n.

Casos de uso

Análisis de algoritmos criptográficos basados en congruencias modulares como RSA.
Comprobación teórica de números de Carmichael y análisis de primalidad en cursos de teoría de números.
Determinación del período máximo de generadores congruenciales lineales y estructuras cíclicas modulares.

Ejemplos

1. Evaluación del menor número de Carmichael

Estudiante de criptografía

Contexto

Analiza las propiedades del número 561 en el contexto de pruebas de primalidad de Fermat.

Problema

Demostrar por qué 561 pasa el test de Fermat para todas las bases coprimas a pesar de ser compuesto.

Cómo usarlo

Ingresa 561 en el campo de número n y selecciona la opción de verificación con unidades de muestra.

n = 561, detail = verify

Resultado

Obtiene la factorización 3 × 11 × 17, λ(561) = lcm(2, 10, 16) = 80 frente a φ(561) = 320, confirmando que 80 divide a 560 y que 561 es un número de Carmichael sin raíz primitiva.

2. Cálculo del exponente modular para una potencia de dos

Profesor de álgebra abstracta

Contexto

Prepara material docente para ilustrar que los módulos de potencias de 2 mayores o iguales a 8 no poseen raíces primitivas.

Problema

Mostrar el colapso del exponente en el grupo multiplicativo modular de 8.

Cómo usarlo

Ingresa 8 en el campo de número n y mantiene el nivel de detalle estándar.

Preguntas frecuentes

¿En qué se diferencia la función λ(n) de Carmichael de la función φ(n) de Euler?

La función φ(n) mide el orden total del grupo multiplicativo, mientras que λ(n) es el exponente del grupo, es decir, el orden máximo posible de un elemento individual. λ(n) siempre divide a φ(n).

¿Cómo se determina si un entero n tiene raíz primitiva?

Existe una raíz primitiva únicamente cuando λ(n) = φ(n), lo cual solo ocurre si n es 1, 2, 4, p^k o 2p^k para primos impares p.

¿Qué indica el criterio de Korselt?

Establece que un entero compuesto n libre de cuadrados es un número de Carmichael si y solo si (p - 1) divide a (n - 1) para cada factor primo p de n, lo que equivale a que λ(n) divida a (n - 1).

¿Cuál es el límite del valor de entrada admitido?

La herramienta admite enteros positivos n en el rango de 1 hasta 10¹² mediante algoritmos de factorización por división tentativa.

¿Qué realiza la opción de verificación con unidades de muestra?

n = 8, detail = value

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Ejemplos

1. Evaluación del menor número de Carmichael

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