Calculadora da função de Carmichael λ(n)

Calculadora da função de Carmichael λ(n) | Ferramenta online grátis | Elysia Tools

Guia de uso da ferramenta

Veja quando usar esta ferramenta, o que ela suporta e como os usuários a aplicam.

Fatos principais

Categoria: Math & Numbers
Tipos de entrada: text, select
Tipo de saída: text
Cobertura de exemplos: 4
API pronta: Sim

Visão geral

A Calculadora da função de Carmichael λ(n) determina o menor expoente positivo k tal que a^k ≡ 1 (mod n) para todo inteiro a coprimo com n. A ferramenta decompõe o módulo n em fatores primos, calcula os expoentes parciais, obtém o mínimo múltiplo comum (mmc), compara o resultado com a função totiente de Euler φ(n), verifica a existência de raízes primitivas e avalia o critério de Korselt para detectar números de Carmichael.

Quando usar

Ao determinar o expoente exato do grupo multiplicativo dos inteiros módulo n (Z/nZ)*.
Ao verificar se um número composto ímpar atende ao critério de Korselt e constitui um pseudoprimo absoluto (número de Carmichael).
Ao analisar a existência de raízes primitivas comparando se λ(n) é igual a φ(n).

Como funciona

1Fatora o número inteiro n em potências de números primos (p^k).
2Calcula λ(p^k) aplicando as regras da função de Carmichael: λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k-2) para k ≥ 3, e λ(p^k)=φ(p^k) para potências de primos ímpares.
3Calcula o mínimo múltiplo comum (mmc) entre os valores parciais de todas as potências primas de n.
4Compara λ(n) com a função totiente φ(n), testa a divisibilidade de n - 1 por λ(n) (critério de Korselt) e, se selecionado, valida congruências com unidades de amostra.

Casos de uso

Estudo de estruturas algébricas e identificação de grupos multiplicativos cíclicos na teoria dos números.
Análise de robustez do algoritmo RSA calculando o expoente mínimo de decodificação modular λ(n) = mmc(p-1, q-1).
Identificação e teste de números pseudoprimos absolutos em testes de primalidade baseados no Pequeno Teorema de Fermat.

Exemplos

1. Cálculo de λ(561) e teste do menor número de Carmichael

Estudante de Criptografia

Contexto

Analisando pseudoprimos absolutos que passam no teste de primalidade de Fermat para todas as bases coprimas.

Problema

Verificar por que 561 se comporta como primo no teste de Fermat mesmo sendo um número composto.

Como usar

Insira 561 no campo 'Número n' e selecione a opção de detalhe 'Verificar também a^λ(n) ≡ 1 (mod n) com unidades de amostra'.

n = 561, detail = verify

Resultado

Exibe os fatores 3 × 11 × 17, obtém λ(561) = mmc(2, 10, 16) = 80 e confirma que 80 divide 560, validando o critério de Korselt.

2. Análise da ordem modular e colapso de expoente para n = 8

Professor de Álgebra

Contexto

Demonstrando em aula que grupos multiplicativos módulo potências de 2 maiores que 4 não são cíclicos.

Problema

Mostrar aos alunos que todo quadrado ímpar é congruente a 1 módulo 8 sem precisar testar manualmente cada caso.

Como usar

Insira 8 no campo 'Número n' e selecione 'λ(n) com fatoração'.

Perguntas frequentes

Qual é a principal diferença entre a função de Carmichael λ(n) e a função totiente φ(n)?

φ(n) representa a ordem total do grupo multiplicativo (Z/nZ)*, enquanto λ(n) é o menor expoente universal compartilhado por todos os elementos coprimos com n.

Quando λ(n) é estritamente menor do que φ(n)?

λ(n) < φ(n) ocorre quando n é divisível por 8 ou por múltiplos primos ímpares distintos, indicando que o grupo multiplicativo não é cíclico e não possui raiz primitiva.

O que é o critério de Korselt para números de Carmichael?

Um número composto n é de Carmichael se for livre de quadrados e (p - 1) dividir (n - 1) para cada divisor primo p, o que equivale a λ(n) dividir n - 1.

Qual é o limite de entrada para o valor de n nesta calculadora?

A ferramenta aceita números inteiros positivos no intervalo de 1 até 10¹² (1.000.000.000.000).

O que a opção de verificação com unidades de amostra faz?

n = 8, detail = value

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Quando usar

Como funciona

Casos de uso

Exemplos

1. Cálculo de λ(561) e teste do menor número de Carmichael

2. Análise da ordem modular e colapso de expoente para n = 8

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