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求解同余方程组 x ≡ rᵢ (mod mᵢ)（2–20 条方程），采用逐对合并的广义中国剩余定理：模数两两互素时合并模数为乘积，非互素但相容时合并模数为最小公倍数，不相容（公因数不整除余数差）则明确报告无解。每条方程都会对最终解回代验证。经典例：x ≡ 2 (mod 3)、x ≡ 3 (mod 5)、x ≡ 2 (mod 7) 的解为 x = 23 (mod 105)。
执行
填写表单、运行工具，并在同一页面查看结果。
案例
相关内容
工具使用指南
中国剩余定理求解器用于快速计算 2 至 20 条同余方程组成的线性同余方程组。工具采用逐对合并的广义中国剩余定理算法，支持两两互素及非互素的相容模数合并，自动判定无解情况，并输出合并步骤与回代验证结果。
背景
正在完成离散数学中关于中国剩余定理的课后习题，需要求解经典的三余数问题并查看验证步骤。
问题
求解方程组：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，即 x ≡ 2 (mod 3)、x ≡ 3 (mod 5)、x ≡ 2 (mod 7)。
如何使用
在余数输入框填入 `2, 3, 2`，在模数输入框填入 `3, 5, 7`，执行求解。
结果
工具输出合并模数 M = 105，唯一解 x = 23 (0 ≤ x < 105)，并展示每步合并过程及对 3、5、7 的回代验证均为通过。
背景
在刷题过程中遇到非两两互素的周期对齐问题，需要验证两组周期的同余相容性并获取最小周期解。
问题
求解方程组：x ≡ 2 (mod 12) 且 x ≡ 14 (mod 18)。
如何使用
在余数输入框填入 `2, 14`，在模数输入框填入 `12, 18`，执行求解。
结果
工具识别到模数非互素但满足相容条件（gcd(12, 18) = 6 整除 12），合并模数为 lcm(12, 18) = 36，输出解 x = 14 (mod 36)。
可以。工具支持广义中国剩余定理，只要方程组相容（公因数能整除余数差），合并模数将自动取最小公倍数（LCM）并给出正确解。
输入的负数余数会在计算前自动按对应的模数取模（r mod m），将其转化为非负标准余数。
当两个模数存在最大公因数 d = gcd(m1, m2)，但两者的余数差 (r1 - r2) 不能被 d 整除时，同余方程组相互矛盾，判定为无解。
求解器支持输入 2 到 20 条同余方程进行同时求解与验证。
工具会将最终求出的解 x 代入输入的每一条同余方程中计算 x mod mᵢ，直观核对计算结果是否严格等于给定的余数 rᵢ。