种群生态、多样性与食物网计算器

按 N_t = N₀·e^(rt) 计算恒定增长率下的种群数量：r > 0 指数增长，r < 0 指数衰减，r = 0 保持不变。同时给出倍数变化 e^(rt)、倍增次数 rt/ln2、倍增时间 ln2/r（r>0）或半衰期 ln2/|r|（r<0）。适用于资源不受限的早期对数期（如富培养基中的细菌、复利）；接近环境容纳量时应改用 logistic 模型。r 与 t 须使用相同时间单位。

按 Verhulst 模型 N_t = K/(1+((K−N₀)/N₀)·e^(−rt)) 计算受环境容纳量约束的种群增长：N ≪ K 时近似指数增长，N → K 时减速，N₀ > K 时回落至 K。同时给出瞬时增长率 dN/dt = r·N·(1−N/K)（在 N = K/2 处最大）与当前占容纳量的百分比。r 与 t 须使用相同时间单位，经典模型要求 r > 0；N ≪ K 时结果收敛于指数模型。

从实际观测时间序列反推环境容纳量：输入每行一个 `时间, 种群数量` 数据点（至少 5 个），工具对 Verhulst 模型 N(t)=K/(1+e^(−r(t−t₀))) 做确定性最小二乘拟合——对候选 K 线性化 ln((K−N)/N)=−r·t+r·t₀ 求解析解，再在 K 上做网格扫描 + 三分搜索收敛到 K̂。输出 K̂、内禀增长率 r̂、拐点 t̂₀、N₀、R²、RMSE 与逐点残差表，并绘制观测散点 + 拟合 S 形曲线 + K 水平线的 SVG 图。若数据尚未接近平台期（max N < 0.6·K̂）会明确警告 K̂ 属外推。与正向计算的 logistic-growth-calculator 互为反问题工具。

计算种群、资金或资源的倍增/减半时间并检验 70 法则的精度：输入每期复合增长率 g%（负值则为半衰期），输出法则估计 T̂ = 分子/g（可选 70 生态学标准 / 72 金融心算 / 69.3 连续复利精确分子）、离散复利精确值 T = ln2/ln(1+g%)、连续复利 T = ln2/(g/100)，以及估计值对精确值的百分比误差。附 ×2/×4/×8/×16（或 ÷2/÷4/÷8/÷16）时刻表与对应数值投影——注意周期利率下 n 倍时间并非严格线性。法则在 g ≈ 2–8% 最准，|g| 越大误差越大（20% 时约 −8%）。与正向计算 N(t) 的 exponential-growth-population 互补，本工具回答「多久翻倍/减半」。

求解并可视化 Lotka–Volterra 种间竞争方程组 dN₁/dt = r₁N₁(1−(N₁+α₁₂N₂)/K₁)、dN₂/dt = r₂N₂(1−(N₂+α₂₁N₁)/K₂)：RK4 数值积分（6000 步）输出双物种 N(t) 时间序列曲线与带零增长等斜线的 N₁–N₂ 相平面轨迹。按等斜线几何自动判定四种经典结局——稳定共存（种间竞争均弱于种内）、物种 1/2 竞争排斥、双稳态优先效应——给出共存平衡点 N₁*=(K₁−α₁₂K₂)/(1−α₁₂α₂₁)、N₂*=(K₂−α₂₁K₁)/(1−α₁₂α₂₁)、终态种群与灭绝判定。支持边界情况（某物种初始为 0）。

求解并可视化经典 Lotka–Volterra 捕食者-猎口方程组 dN/dt = rN − aNP、dP/dt = bNP − mP：RK4 数值积分（6000 步，带 Hamilton 守恒量 V = bN − m·ln N + aP − r·ln P 漂移监控），输出猎物/捕食者相位振荡的时间序列曲线与闭合轨道相平面图（含共存平衡点 N*=m/b、P*=r/a 与线性化周期 T ≈ 2π/√(rm)）。自动检测周期数量与实测周期、种群振幅范围，并说明中性振荡的结构不稳定性——周期振幅完全由初始条件决定，真实系统会因密度依赖而阻尼或因富集悖论而自激。

标记重捕法（Petersen 法）估算封闭种群大小：输入第一批标记释放数 n₁、第二批捕获总数 n₂ 与重捕标记数 m₂，同时给出 Lincoln–Petersen 简单估计 N̂ = n₁n₂/m₂ 与 Chapman 偏差校正估计 N̂ = (n₁+1)(n₂+1)/(m₂+1)−1，附 Seber 标准误与 95% 置信区间、未见过个体数、标记比例与捕获概率。m₂ = 0 或 m₂ > min(n₁, n₂) 会拒绝并提示。前提是封闭种群、标记不脱落不影响存活与可捕性；重捕数少（m₂ < 10）时间隔仅供参考。

一次输入物种名录与个体数，同时得到群落结构核心指标：物种丰富度 S、Margalef 丰富度指数 d=(S−1)/ln N、Menhinick 指数 d=S/√N（对样本量校正）、Shannon H′ 与 H′max=ln S、Pielou 均匀度 J=H′/ln S（0–1，J=1 完全均匀）、Berger–Parker 优势度（最优势物种占比）。支持 `名称: 数量` 逐行输入（自动生成逐物种占比表）或纯数字列表；重名物种自动合并求和。丰富度指数越高物种越多，J 越高个体分配越均匀——两者合起来才能描述完整多样性。

按 H′ = −Σpᵢ·ln pᵢ 计算 Shannon（Shannon–Wiener）多样性指数，pᵢ = nᵢ/N 为各物种占比。H′ 同时随物种丰富度 S 与均匀度增大；支持 ln（生态学经典）、log₂（比特/物种）与 log₁₀ 三种底。附带 H′max = ln(S) 与 Pielou 均匀度 J = H′/ln(S)（0–1，J=1 表示完全均匀）。粗略判读：H′ < 1 低、1–3 中高、> 3 极高（依情境而定，比较 S 相近的群落更有意义）。

由物种计数计算 Simpson 系列指数：优势度 λ = Σpᵢ²、Gini–Simpson 多样性 D = 1−Σpᵢ²（0–1，即随机抽取两个个体属于不同物种的概率；单优势种时 D=0）、倒数指数 1/λ（Hill 数，即"等效物种数"）与 Simpson 均匀度 (1/λ)/S。D 越高多样性越高；λ 高表示少数类群占优。1/λ 比 D 更便于跨群落比较。注意不同文献对"Simpson 指数"定义不一（λ 或 1/λ），本工具同时列出三种约定。至少需要两个正计数的物种。

按 Lindeman 能量传递定律生成营养级金字塔：输入生产者能量/生物量 E₁、传递效率（默认 10%，可调 0.1–40%）与营养级数（3–6），得到每一级的能量/生物量、占生产者百分比与每次传递的损耗（呼吸散热、排泄、未被捕食）。渲染彩色 SVG 金字塔（条宽按 √E 缩放保证可见，数值始终为真实值）与逐级数据表，并解释为何能量金字塔永远正立而数量/生物量金字塔可能倒置（如海洋生态系统）。典型实测传递效率为 5–20%。

从各营养级实测能量/生物量反算传递效率（与 biomass-pyramid 互为逆问题）：每行输入一个营养级数值（从生产者 T1 开始），输出每一步传递效率 Eᵢ₊₁/Eᵢ、Lindeman 式平均效率、顶层占生产者的累计百分比，以及按平均效率外推的下一级数值。每步传递按 <5% 低 / 5–20% 典型 / >20% 高 分档解读并指出限制性传递环节。能量金字塔不可倒置：若后一营养级大于前一级会拒绝并提示检查数据顺序（数量/生物量金字塔则可以倒置）。仅两个营养级即得单一效率，更多级则能看出哪一步限制食物链。