Science & Education

快度 φ = artanh(β)：把相对论速度合成变成普通加法的双曲角。推动（boost）按快度相加复合（tanh(φ₁+φ₂) = 合成 β），γ = cosh φ、γβ = sinh φ，e^φ 就是纵向多普勒因子。β = 0.5 时 φ = 0.549306，加倍得 tanh(1.098612) = 0.8——0.5c + 0.5c = 0.8c 归结为 2φ。

Science & Education

一维无限深势阱能级 E_n = n²h²/(8mL²)：粒子可选电子/质子/中子/α 粒子或自定义质量，阱宽支持 m–pm 五种单位。输出基态能量 E_1（零点能——阱内粒子永远无法静止）、指定能级、德布罗意驻波检验 λ_dB = 2L/n、n+1 → n 跃迁的光子波长，可选列出至 n = 12 的能级阶梯。把质子关进 10 fm 的核尺度盒子会得到约 2 MeV 的零点能——这正是核物理生活在 MeV 能区的原因。

Math & Numbers

求元素 a 模 n 的乘法阶 ord_n(a)——使 a^k ≡ 1 (mod n) 的最小 k ≥ 1（要求 gcd(a, n) = 1）。算法从 φ(n) 出发逐个剥去素因子并测试 a^(ord/p)，输出 a 的幂表、最小性证明（对每个整除 k 的素数 p 验证 a^(k/p) ≢ 1）、生成的循环子群 <a>，并标注 a 是否为原根（ord = φ(n)）或达到最大阶（ord = λ(n)）。经典例：ord_7(3) = 6 = φ(7)，3 是 mod 7 的原根；ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8。

Math & Numbers

对有理函数 F(x) = N(x)/D(x) 做部分分式分解（分母次数 ≤ 6，分子次数 ≤ 8，假分式自动先做多项式长除）：Durand-Kerner 求分母根并按重数/共轭对分组，解多项式系数线性方程组得到 A/(x−r)^j 与 (Bx+C)/((x−α)²+β²) 形式的分解，并在代数探针点做数值残差验证。经典例：(3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2)；(x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1)；1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)²。

Math & Numbers

对有理函数 F(s) = N(s)/D(s)（真分式，分母次数 ≤ 6）求拉普拉斯逆变换：先对分母求根并按重数/共轭对分组，再解多项式系数线性方程组得到部分分式分解，最后逐项查表反变换（A/(s−r)→Ae^(rt)、A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!、(Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]）。经典例：1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t)；(3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2.5sin(2t)。

Development

把 OpenAPI 3.x 或 Swagger 2.0 规范（JSON/YAML）转成可直接导入的 Postman Collection v2.1.0，含文件夹、变量、认证与示例响应。

Math & Numbers

把整份食谱食材清单按新份数缩放，杯/大匙/小匙 ⇄ 克/毫升双向换算（含每种食材的密度表），输出厨房友好的分数。

Education

用 Wright 路径公式计算近交系数 F：个体某位点两个等位基因同源相同的概率。F_X = Σ (1/2)^(n1+n2+1) × (1 + F_A)，n1/n2 为父系/母系到共同祖先的代数，F_A 为祖先自身近交系数，对所有共同祖先的路径求和。参考值：自交 0.5、亲子 0.25、全同胞 0.25（两条 1,1 路径）、半同胞 0.125、舅甥 0.125、一级表亲 0.0625（两条 2,2 路径）。隐性致病风险由 q² 升至 q² + F·q·(1−q)。支持单路径与多路径模式。来源：Wright 1922、Falconer & Mackay、Hartl & Clark 2007、StatPearls。仅供教学用途，不能替代遗传咨询。

Education

计算 X 染色体连锁性状的子代基因型与表型概率。儿子只从母亲获得 X（父亲提供 Y），女儿从父母各得一条 X。隐性模式（血友病 A、红绿色盲）：X^a Y 男性与 X^a X^a 女性患病，X^A X^a 为携带者；携带者母亲 × 正常父亲 → 50% 儿子患病、0% 女儿患病、50% 女儿为携带者（交叉遗传）。显性模式（X 连锁低磷酸盐血症佝偻病）：X^A Y 男性和 X^A X^A / X^A X^a 女性患病；患病父亲 × 正常母亲 → 100% 女儿患病、0% 儿子患病。来源：Morgan 1910、Griffiths、Hartl & Clark 2007、StatPearls。仅供教学用途。

Health

在常规单位(µIU/mL)与 SI 单位(pmol/L)之间转换血清/血浆胰岛素。人胰岛素摩尔质量约 5808 g/mol，比活性约 24 IU/nmol（WHO 1st IR 83/500），换算因子固定：µIU/mL × 6.945 = pmol/L（÷6.945）。参考范围（成人空腹健康者）：2.6–24.9 µIU/mL（18–173 pmol/L）。胰岛素抵抗（HOMA-IR）：空腹胰岛素 >15 µIU/mL（~104 pmol/L）常作为切点。低血糖排查：低血糖时胰岛素 >3 µIU/mL（>21 pmol/L）提示内源性高胰岛素血症（胰岛素瘤、磺脲类）。来源：WHO 83/500、Young 1987、StatPearls、Matthews Diabetologia 1985。不构成医疗建议。

Health

用 Winter 公式计算代谢性酸中毒时呼吸代偿的预期 PaCO₂ = 1.5×HCO₃⁻ + 8 ± 2 mmHg。若提供实测 PaCO₂，可判断代偿是否恰当：在 ±2 内为适当代偿；偏高提示合并呼吸性酸中毒；偏低提示合并呼吸性碱中毒。聚焦单一公式的专项工具；完整血气判读（原发紊乱/AG/delta ratio）请用已有的 blood-gas-anion-gap 工具。来源：Albert Ann Intern Med 1967、Emmett UpToDate 2016、LITFL、MDCalc。不构成医疗建议。

Design

渲染公开网页，结合截图导出观察到的配色、字体、间距和组件样式。