ε = 20
4
Fractal com Sobreposição de Grade
Tamanho Atual da Caixa:
ε = 20
Caixas Contendo o Fractal:
N(ε) = 0
Estimativa de Dimensão:
D = —
Gráfico Log-Log: log(N(ε)) vs log(1/ε)
Inclinação (Dimensão D):
—
R²:
—
D Teórico:
—
Dados de Contagem de Caixas
| ε (Tamanho da Caixa) | N(ε) (Contagem) | log(1/ε) | log(N(ε)) | log(N)/log(1/ε) |
|---|
Algoritmo de Contagem de Caixas
1
Escolher Tamanho da Caixa
Selecionar um tamanho de caixa ε para criar uma sobreposição de grade
2
Sobrepor Grade
Cobrir o fractal com uma grade de caixas ε×ε
3
Contar Caixas
Contar N(ε): caixas que contêm qualquer parte do fractal
4
Registrar Ponto
Plotar (log(1/ε), log N(ε)) no gráfico log-log
5
Repetir
Repetir para diferentes valores de ε
6
Ajustar Linha
Inclinação de regressão linear = dimensão fractal D
Fundamentação Matemática
A dimensão fractal D é calculada como o limite da razão de logaritmos quando ε tende a zero:
- ε (epsilon): Tamanho da caixa
- N(ε): Número de caixas contendo partes fractais
- D: Dimensão fractal (inclinação no gráfico log-log)
Problemas de Prática
Questão 1: Previsão de Dimensão
Antes de contar, preveja a dimensão fractal de um triângulo de Sierpinski. Dica: Cada iteração se divide em 3 cópias escaladas por 1/2.
Questão 2: Prática de Contagem de Caixas
Para uma curva de Koch com ε = 1/3 do comprimento total, quantas caixas são necessárias? E quanto a ε = 1/9?