ε = 20
4
Fractal con Rejilla Superpuesta
Tamaño Actual de Caja:
ε = 20
Cajas que Contienen el Fractal:
N(ε) = 0
Estimación de Dimensión:
D = —
Gráfico Log-Log: log(N(ε)) vs log(1/ε)
Pendiente (Dimensión D):
—
R²:
—
D Teórica:
—
Datos de Conteo de Cajas
| ε (Tamaño de Caja) | N(ε) (Cuenta) | log(1/ε) | log(N(ε)) | log(N)/log(1/ε) |
|---|
Algoritmo de Conteo de Cajas
1
Elegir Tamaño de Caja
Seleccionar un tamaño de caja ε para crear una rejilla superpuesta
2
Superponer Rejilla
Cubrir el fractal con una rejilla de cajas ε×ε
3
Contar Cajas
Contar N(ε): cajas que contienen cualquier parte del fractal
4
Registrar Punto
Graficar (log(1/ε), log N(ε)) en gráfico log-log
5
Repetir
Repetir para diferentes valores de ε
6
Ajustar Línea
Pendiente de regresión lineal = dimensión fractal D
Fundamento Matemático
La dimensión fractal D se calcula como el límite del cociente de logaritmos cuando ε tiende a cero:
- ε (epsilon): Tamaño de caja
- N(ε): Número de cajas que contienen partes del fractal
- D: Dimensión fractal (pendiente en gráfico log-log)
Problemas de Práctica
Pregunta 1: Predicción de Dimensión
Antes de contar, predice la dimensión fractal de un triángulo de Sierpinski. Pista: Cada iteración se divide en 3 copias escaladas por 1/2.
Pregunta 2: Práctica de Conteo de Cajas
Para una curva de Koch con ε = 1/3 de la longitud total, ¿cuántas cajas se necesitan? ¿Qué tal ε = 1/9?