ε = 20
4
Fractale avec Grille Superposée
Taille Actuelle de Boîte:
ε = 20
Boîtes Contenant la Fractale:
N(ε) = 0
Estimation de Dimension:
D = —
Graphique Log-Log: log(N(ε)) vs log(1/ε)
Pente (Dimension D):
—
R²:
—
D Théorique:
—
Données de Comptage de Boîtes
| ε (Taille de Boîte) | N(ε) (Compte) | log(1/ε) | log(N(ε)) | log(N)/log(1/ε) |
|---|
Algorithme de Comptage de Boîtes
1
Choisir la Taille de Boîte
Sélectionner une taille de boîte ε pour créer une grille superposée
2
Superposer la Grille
Couvrir la fractale avec une grille de boîtes ε×ε
3
Compter les Boîtes
Compter N(ε): boîtes contenant n'importe quelle partie de la fractale
4
Enregistrer le Point
Tracer (log(1/ε), log N(ε)) sur le graphique log-log
5
Répéter
Répéter pour différentes valeurs de ε
6
Ajuster la Ligne
Pente de régression linéaire = dimension fractale D
Fondement Mathématique
La dimension fractale D est calculée comme la limite du rapport des logarithmes quand ε tend vers zéro:
- ε (epsilon): Taille de boîte
- N(ε): Nombre de boîtes contenant des parties fractales
- D: Dimension fractale (pente dans le graphique log-log)
Problèmes de Pratique
Question 1: Prédiction de Dimension
Avant de compter, prédire la dimension fractale d'un triangle de Sierpinski. Indice: Chaque itération se divise en 3 copies mises à l'échelle par 1/2.
Question 2: Pratique de Comptage de Boîtes
Pour une courbe de Koch avec ε = 1/3 de la longueur totale, combien de boîtes sont nécessaires? Et pour ε = 1/9?