ε = 20
4
Фрактал с Наложением Сетки
Текущий Размер Коробки:
ε = 20
Коробки Содержащие Фрактал:
N(ε) = 0
Оценка Размерности:
D = —
Лог-Лог График: log(N(ε)) vs log(1/ε)
Наклон (Размерность D):
—
R²:
—
Теоретическое D:
—
Данные Коробочного Счета
| ε (Размер Коробки) | N(ε) (Количество) | log(1/ε) | log(N(ε)) | log(N)/log(1/ε) |
|---|
Алгоритм Коробочного Счета
1
Выбрать Размер Коробки
Выбрать размер коробки ε для создания сетки
2
Наложить Сетку
Покрыть фрактал сеткой из коробок ε×ε
3
Посчитать Коробки
Посчитать N(ε): коробки, содержащие любую часть фрактала
4
Записать Точку
Построить (log(1/ε), log N(ε)) на лог-лог графике
5
Повторить
Повторить для различных значений ε
6
Подогнать Линию
Наклон линейной регрессии = фрактальная размерность D
Математическая Основа
Фрактальная размерность D вычисляется как предел отношения логарифмов, когда ε стремится к нулю:
- ε (эпсилон): Размер коробки
- N(ε): Количество коробок, содержащих фрактальные части
- D: Фрактальная размерность (наклон на лог-лог графике)
Практические Задачи
Вопрос 1: Предсказание Размерности
Перед подсчетом предскажите фрактальную размерность треугольника Серпинского. Подсказка: Каждая итерация делится на 3 копии, масштабированные на 1/2.
Вопрос 2: Практика Коробочного Счета
Для кривой Коха с ε = 1/3 общей длины, сколько коробок нужно? А с ε = 1/9?