ε = 20
4
Fraktal mit Gitterüberlagerung
Aktuelle Boxgröße:
ε = 20
Boxen mit Fraktal:
N(ε) = 0
Dimensionsschätzung:
D = —
Log-Log-Diagramm: log(N(ε)) vs log(1/ε)
Steigung (Dimension D):
—
R²:
—
Theoretisches D:
—
Box-Counting-Daten
| ε (Boxgröße) | N(ε) (Anzahl) | log(1/ε) | log(N(ε)) | log(N)/log(1/ε) |
|---|
Box-Counting-Algorithmus
1
Boxgröße Wählen
Eine Boxgröße ε wählen, um eine Gitterüberlagerung zu erstellen
2
Gitter Überlagern
Das Fraktal mit einem Gitter aus ε×ε-Boxen abdecken
3
Boxen Zählen
N(ε) zählen: Boxen, die einen Teil des Fraktals enthalten
4
Punkt Aufzeichnen
(log(1/ε), log N(ε)) im Log-Log-Diagramm auftragen
5
Wiederholen
Für verschiedene ε-Werte wiederholen
6
Linie Anpassen
Lineare Regressionsteigung = fraktale Dimension D
Mathematische Grundlage
Die fraktale Dimension D wird als Grenzwert des Verhältnisses der Logarithmen berechnet, wenn ε gegen Null geht:
- ε (Epsilon): Boxgröße
- N(ε): Anzahl der Boxen, die fraktale Teile enthalten
- D: Fraktale Dimension (Steigung im Log-Log-Diagramm)
Übungsprobleme
Frage 1: Dimensionsvorhersage
Vor dem Zählen die fraktale Dimension eines Sierpinski-Dreiecks vorhersagen. Hinweis: Jede Iteration teilt sich in 3 Kopien, skaliert um 1/2.
Frage 2: Box-Counting-Übung
Für eine Koch-Kurve mit ε = 1/3 der Gesamtlänge, wie viele Boxen werden benötigt? Wie wäre es mit ε = 1/9?