Resolvedor de jogos de soma zero (ponto de sela / programação linear)

Calcula a função de Carmichael λ(n) — o expoente do grupo multiplicativo (Z/nZ)*, ou seja, o menor k com a^k ≡ 1 (mod n) para todo a coprimo com n. Construída a partir da fatoração prima (λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) para k ≥ 3, λ(p^k)=φ(p^k) em potências ímpares, depois mmc), junto com φ(n), a existência de raiz primitiva e o critério de Korselt para detectar números de Carmichael. Clássicos: λ(561) = 80 (561 é o menor número de Carmichael) e λ(8) = 2 < φ(8) = 4.

Resolve o sistema x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 equações) pelo teorema chinês do resto generalizado com fusão aos pares: módulos coprimos → módulo combinado igual ao produto; não coprimos porém compatíveis → MMC; sistema incompatível → ausência de solução relatada claramente. Cada congruência é verificada contra a solução final. Clássico: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).

Gera permutações, combinações e subconjuntos de um multiconjunto com deduplicação automática em ordem lexicográfica: as permutações usam next_permutation com contagem exata n!/Π(mᵢ!); as combinações dão as k-subseções distintas do multiconjunto, contadas como coeficiente de x^k em Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) se todos os elementos forem distintos); os subconjuntos enumeram cada subseção com contagem Π(mᵢ+1) (2ⁿ se todos distintos), incluindo o vazio. Até 12 elementos, exibição limitada a 200 entradas mas contagem sempre exata; o modo combinações exige 1 ≤ k ≤ n. Clássicos: permutações de [A, A, B] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); subconjuntos de [A, A, B] → (2+1)(1+1) = 6.

Calcula a função totiente de Euler φ(n) — quantos inteiros em [1, n] são coprimos com n. Fatora n por divisão de tentativa e avalia exatamente φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), com opção de listar os primeiros 60 coprimos e o lembrete do teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Clássicos: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); se n for primo, φ(n) = n − 1, p. ex. φ(97) = 96.