Solucionador de juegos de suma cero (punto de silla / programación lineal)

Calcula la función de Carmichael λ(n) — el exponente del grupo multiplicativo (Z/nZ)*, es decir, el menor k con a^k ≡ 1 (mod n) para todo a coprimo con n. Se obtiene desde la factorización prima con λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) (k ≥ 3), λ(p^k)=φ(p^k) en potencias impares y lcm entre componentes, junto con φ(n), la existencia de raíz primitiva y el criterio de Korselt para detectar números de Carmichael. Clásicos: λ(561) = 80 (561 es el menor número de Carmichael) y λ(8) = 2 < φ(8) = 4.

Resuelve el sistema x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 ecuaciones) mediante el teorema chino del resto generalizado con fusión por pares: con módulos coprimos el módulo combinado es el producto; si no son coprimos pero el sistema es compatible, es el mínimo común múltiple; si es incompatible, se informa claramente de que no hay solución. Cada congruencia se verifica contra la solución final. Clásico: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).

Genera permutaciones, combinaciones y subconjuntos de un multiconjunto, deduplicando y ordenando lexicográficamente: las permutaciones usan next_permutation con conteo exacto n!/Π(mᵢ!); las combinaciones generan las k-submultisecciones distintas, contadas como el coeficiente de x^k en Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) si todos los elementos son distintos); los subconjuntos enumeran cada submultisección con conteo Π(mᵢ+1) (2ⁿ si todos distintos), incluido el vacío. Hasta 12 elementos, la muestra se limita a 200 entradas pero el conteo siempre es exacto; el modo combinaciones exige 1 ≤ k ≤ n. Clásicos: permutaciones de [A, A, B] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); subconjuntos de [A, A, B] → (2+1)(1+1) = 6.

Calcula la función φ de Euler — cuántos enteros en [1, n] son coprimos con n. Factoriza n por división de prueba y evalúa exactamente φ(n) = n · Π(1 − 1/p) (n ≤ 10¹²), con opción de listar los primeros 60 coprimos y el recordatorio del teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n). Clásicos: φ(36) = 12 (36 = 2² × 3²); si n es primo, φ(n) = n − 1, p. ej. φ(97) = 96.