Welche Matrixgrößen werden unterstützt?

Das Tool unterstützt rechteckige und quadratische Matrizen von 2×2 bis 6×6.

Wie wird die Auszahlungsmatrix interpretiert?

Die Werte stellen die Auszahlung an den Zeilenspieler dar (positiv = Gewinn für Zeile, Verlust für Spalte).

Was passiert, wenn mehrere Sattelpunkte existieren?

Alle zutreffenden Sattelpunkt-Zellen mit identischem Gleichgewichtswert werden vollständig aufgelistet.

Wie wird bei gemischten Strategien gerechnet?

Das Tool nutzt ein lineares Programm mit Simplex-Algorithmus und Bland-Regel zur Ermittlung von Wahrscheinlichkeiten und Schattenpreisen.

Kann die Ausgabegenauigkeit angepasst werden?

Ja, über die Option für Dezimalstellen kann die Rundungsgenauigkeit zwischen 0 und 8 Nachkommastellen gewählt werden.

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Nullsummenspiel-Löser (Sattelpunkt / lineare Programmierung)

Löst Nullsummenspiele 2–6 × 2–6 (die Auszahlungsmatrix gehört zum Zeilenspieler, dem Maximierer; der Spaltenspieler zahlt): zuerst der Sattelpunkttest (gleicht das Maximin der Zeilenminima dem Minimax der Spaltenmaxima, existiert ein Gleichgewicht in reinen Strategien und alle Sattelzellen werden aufgelistet); andernfalls wird die Matrix verschoben, sodass alle Einträge ≥ 1 sind, und ein einphasiger Simplex (Schlupfbasis, Bland-Regel) löst max Σz u. d. N. Bz ≤ 1: das Primal liefert die gemischte Strategie q des Spaltenspielers, und die dualen Schattenpreise sind exakt die Lösung y des Zeilenspielers; der Wert wird zurückverschoben, x, q und v werden numerisch verifiziert (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) samt Minimax-Gleichheit. Klassiker: Münzwurf [[1,-1],[-1,1]] → Wert 0 mit 0.5/0.5-Mischungen.

Ausführung

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2 Beispiele

Münzwurf [[1,-1],[-1,1]] → Wert 0, beide mischen 0.5/0.5

Das kanonische Spiel ohne Sattelpunkt: Maximin −1 < Minimax 1, daher müssen beide randomisieren. Das LP (auf der um +2 verschobenen Matrix) pivotiert zweimal und liefert z = y = (0.25, 0.25): Jeder Spieler mischt 50/50, und der Wert des fairen Spiels ist exakt 0 — gegen optimales Spiel kommt keiner besser.

Zero-sum game — 2 row strategies × 2 column strategies (payoffs to the row player) Payoff matrix: [ 1 -1 ] [ -1 1 ] Saddle-point test: Row minima: -1, -1 → maximin = -1 (row 1) Column maxima: 1, 1 → minimax = 1 (column 1) maximin < minimax → no saddle point; solve mixed strategies by linear programming. Mixed strategy via LP (matrix shifted by +2 to keep entries ≥ 1; value shifted back by −2): LP: max z1 + z2 s.t. Bz ≤ 1, z ≥ 0 pivot 1: z1 enters, s1 leaves → Σz = 0.3333 pivot 2: z2 enters, s2 leaves → Σz = 0.5 Row player mixed strategy x = (0.5, 0.5) Column player mixed strategy q = (0.5, 0.5) Game value v = 0 Security checks: Row guarantee: min over columns of xᵀA = 0 ≥ v = 0 ✓ Column cap: max over rows of A·q = 0 ≤ v = 0 ✓ Minimax equality verified: 1/Σz = 1/Σy = 2 (shifted) → v = 0 ✓

Schiefsymmetrische 3×3-Matrix [[0,1,-2],[-1,0,3],[2,-3,0]] → Wert 0 (faire Spiel)

Eine schiefsymmetrische Matrix (Aᵀ = −A) ergibt immer ein faires Spiel: Beide Spieler teilen dieselbe optimale Mischung, und der Wert ist 0. Hier gibt es keinen Sattelpunkt; das LP verschiebt um +4, und die verifizierte Lösung garantiert dem Zeilenspieler gegen jede Spalte mindestens 0, während der Spaltenspieler jede Zeile auf höchstens 0 begrenzt.

Zero-sum game — 3 row strategies × 3 column strategies (payoffs to the row player) Payoff matrix: [ 0 1 -2 ] [ -1 0 3 ] [ 2 -3 0 ] Saddle-point test: Row minima: -2, -1, -3 → maximin = -1 (row 2) Column maxima: 2, 1, 3 → minimax = 1 (column 2) maximin < minimax → no saddle point; solve mixed strategies by linear programming. Mixed strategy via LP (matrix shifted by +4 to keep entries ≥ 1; value shifted back by −4): LP: max z1 + z2 + z3 s.t. Bz ≤ 1, z ≥ 0 ... Game value v = 0 Security checks: Row guarantee: min over columns of xᵀA = 0 ≥ v = 0 ✓ Column cap: max over rows of A·q = 0 ≤ v = 0 ✓

Eingaben

Fülle die erforderlichen Felder aus und starte das Tool.

2 Optionen

InhaltHaupteingaben einfügen oder eingeben.1

Auszahlungsmatrix (Gewinn des Zeilenspielers, eine pro Zeile)textareaPflichtPayoffs to the row player (positive = row wins). 2–6 rows × 2–6 columns; the column player minimizes.

EinstellungenFormate, Bereiche, Zahlen und Modi anpassen.1

DezimalstellennumberOptionales Feld

Ergebnis

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Beispiele

1. Klassischer Münzwurf (Matching Pennies)

2. Schiefsymmetrische 3×3-Matrix

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Zero Trust Architektur-Beispiele

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Tools fur JSON-Austausch und Format-Ubersetzung

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