Science & Education

Rapidez φ = artanh(β): o ângulo hiperbólico que transforma a adição relativística de velocidades em adição comum. Boosts compõem-se somando rapidezas (tanh(φ₁+φ₂) = β resultante), γ = cosh φ, γβ = sinh φ, e e^φ é o fator Doppler longitudinal. Com β = 0.5, φ = 0.549306 e dobrá-lo dá tanh(1.098612) = 0.8 — o caso 0.5c + 0.5c = 0.8c reduzido a 2φ.

Science & Education

Níveis de uma caixa de potencial infinita 1D, E_n = n²h²/(8mL²): partícula elétron/próton/nêutron/alfa ou massa personalizada, comprimento da caixa em unidades de m a pm. Retorna E_1 (energia de ponto zero — a partícula nunca pode estar em repouso), o nível pedido, a verificação da onda estacionária de de Broglie λ_dB = 2L/n, o comprimento de onda do fóton da transição n+1 → n e, opcionalmente, a escada de níveis até n = 12. Prender um próton numa caixa nuclear de 10 fm dá ~2 MeV de ponto zero — é por isso que a física nuclear vive na faixa de MeV.

Math & Numbers

Calcula a ordem multiplicativa ord_n(a) — o menor k ≥ 1 com a^k ≡ 1 (mod n) (exige mdc(a, n) = 1). O algoritmo parte de φ(n) e vai removendo fatores primos testando a^(ord/p); a saída inclui a tabela de potências de a, a prova de minimalidade (a^(k/p) ≢ 1 para cada primo p | k), o subgrupo cíclico gerado <a>, e indica se a é raiz primitiva (ord = φ(n)) ou atinge a ordem máxima (ord = λ(n)). Clássicos: ord_7(3) = 6 = φ(7), 3 é raiz primitiva mod 7; ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8.

Math & Numbers

Decompõe em frações parciais F(x) = N(x)/D(x) (denominador de grau ≤ 6, numerador ≤ 8; frações impróprias são primeiro divididas por divisão polinomial): raízes do denominador por Durand–Kerner agrupadas por multiplicidade e pares conjugados, sistema linear exato de coeficientes para os termos A/(x−r)^j e (Bx+C)/((x−α)²+β²), e verificação numérica do resíduo em pontos algébricos de teste. Clássicos: (3x+5)/(x²+3x+2) = 2/(x+1) + 1/(x+2); (x³+2x)/(x²+1) = x + x/(x²+1); 1/(x(x+1)²) = 1/x − 1/(x+1) − 1/(x+1)².

Math & Numbers

Calcula a transformada inversa de Laplace de F(s) = N(s)/D(s) (fração própria, denominador de grau ≤ 6): acha as raízes do denominador agrupadas por multiplicidade e pares conjugados, resolve o sistema linear de coeficientes para a decomposição em frações parciais e inverte termo a termo com os pares padrão (A/(s−r)→Ae^(rt), A/(s−r)^j→At^(j−1)e^(rt)/(j−1)!, (Bs+C)/((s−α)²+β²)→e^(αt)[Bcos(βt)+…sin(βt)]). Clássicos: 1/(s²+3s+2) → e^(−t)−e^(−2t); (3s+5)/(s²+4) → 3cos(2t)+2,5sin(2t).

Development

Converte uma spec OpenAPI 3.x ou Swagger 2.0 (JSON/YAML) em uma Postman Collection v2.1.0 importável com pastas, variáveis, auth e respostas de exemplo.

Math & Numbers

Reescala a lista de ingredientes de uma receita para um novo número de porções, convertendo xícaras/colheres ⇄ gramas/ml com densidades por ingrediente e frações de cozinha.

Education

Calcula o coeficiente de endogamia F de Wright: a probabilidade de dois alelos de um lócus serem idênticos por descendência. F_X = Σ (1/2)^(n1+n2+1) × (1 + F_A), com n1/n2 gerações do pai/da mãe ao ancestral comum e F_A a endogamia do ancestral, somando sobre todos os ancestrais comuns. Valores de referência: autofecundação 0.5, pai×descendente 0.25, irmãos completos 0.25 (dois caminhos 1,1), meio-irmãos 0.125, tio×sobrinha 0.125, primos em 1.º grau 0.0625 (dois caminhos 2,2). O risco recessivo sobe de q² para q² + F·q·(1−q). Fontes: Wright 1922, Falconer & Mackay, Hartl & Clark 2007, StatPearls. Apenas uso educativo.

Education

Calcula as probabilidades de genótipos e fenótipos da descendência para caracteres ligados ao cromossomo X. Os filhos recebem seu único X da mãe (o pai fornece o Y); as filhas recebem um X de cada progenitor. Modo recessivo (hemofilia A, daltonismo): afetados X^a Y e X^a X^a; X^A X^a portadora; mãe portadora × pai normal → 50% dos filhos afetados, 0% das filhas afetadas, 50% das filhas portadoras. Modo dominante (raquitismo hipofosfatêmico ligado ao X): afetados X^A Y, X^A X^A e X^A X^a; pai afetado × mãe normal → 100% das filhas afetadas, 0% dos filhos. Fontes: Morgan 1910, Griffiths, Hartl & Clark 2007, StatPearls. Apenas uso educativo.

Health

Converte a insulina sérica/plasmática entre unidades convencionais (µUI/mL) e do SI (pmol/L). A insulina humana tem massa molar de ~5808 g/mol e atividade específica de ~24 UI/nmol (OMS 1st IR 83/500), portanto o fator é fixo: µUI/mL × 6.945 = pmol/L (÷6.945). Referência (adulto saudável em jejum): 2.6–24.9 µUI/mL (18–173 pmol/L). Resistência à insulina (HOMA-IR): insulina de jejum >15 µUI/mL (~104 pmol/L) como corte. Investigação de hipoglicemia: insulina >3 µUI/mL (>21 pmol/L) durante hipoglicemia sugere hiperinsulinismo endógeno (insulinoma, sulfonilureias). Fontes: OMS 83/500, Young 1987, StatPearls, Matthews 1985. Não é conselho médico.

Health

Calcula o PaCO₂ esperado para a compensação respiratória na acidose metabólica pela fórmula de Winter: 1.5×HCO₃⁻ + 8 ± 2 mmHg. Se o PaCO₂ real for fornecido, avalia se a compensação é adequada (±2), ou se há acidose respiratória concomitante (mais alto) ou alcalose respiratória (mais baixo). Ferramenta focada em uma única fórmula; para interpretação completa use blood-gas-anion-gap. Fontes: Albert 1967, Emmett 2016, LITFL, MDCalc. Não é conselho médico.

Design

Captura uma página pública e exporta cores, tipografia, espaçamentos e componentes observados com uma imagem.