Wählen Sie Mutter-Wavelets, passen Sie Skalierungs- und Verschiebungsparameter an, überlagern Sie Wavelet-Komponenten und beobachten Sie Zeitbereichswellenformen und Zeit-Frequenz-Lokalisierung in Echtzeit
Ein Wavelet ist eine lokalisierte Schwingungsfunktion ψ(t) mit verschwindendem Mittelwert und endlicher Energie. Im Gegensatz zu Sinuswellen in der Fourier-Analyse sind Wavelets sowohl in Zeit als auch Frequenz begrenzt. Vier gängige Mutter-Wavelets: (1) Haar — einfache Sprungfunktion, diskontinuierlich aber kompakt unterstützt, ideal zur Kantenerkennung. (2) Morlet — gaußgefensterte Schwingungsfunktion, oft als e^(-t²/2)·(cos(ω₀t)-C) geschrieben, wobei die Konstante C einen nahezu verschwindenden Mittelwert und gute Frequenzlokalisierung sicherstellt. (3) Mexican Hat — zweite Ableitung einer Gaußfunktion ψ(t) = (1-t²)·e^(-t²/2), symmetrisch mit guter Lokalisierung in beiden Bereichen. (4) Gauß-Ableitung — erste Ableitung einer Gaußfunktion ψ(t) = -t·e^(-t²/2), antisymmetrisch, empfindlich für Signalsteigungen. Jedes Wavelet wird durch Skala a gedehnt und durch Verschiebung b verschoben: ψ_{a,b}(t) = (1/√a)·ψ((t-b)/a).
Das Heisenberg-Unschärfeprinzip besagt, dass ein Signal nicht gleichzeitig in Zeit und Frequenz mit beliebiger Präzision lokalisiert werden kann: Δt · Δf ≥ 1/(4π). Wavelets nutzen dies durch adaptive Auflösung: bei großer Skala (niedrige Pseudofrequenz) ist das Wavelet breit in der Zeit aber schmal in der Frequenz; bei kleiner Skala (hohe Pseudofrequenz) ist es schmal in der Zeit aber breit in der Frequenz. Diese Multi-Auflösungseigenschaft macht Wavelets der STFT für transiente Signale überlegen. Die Ellipsen im unteren Diagramm visualisieren diesen Kompromiss in einer Zeit-Pseudofrequenz-Ansicht: breitere Ellipsen bedeuten längere Zeitausdehnung, höhere Ellipsen größere Frequenzstreuung.
Bildkompression: JPEG 2000 nutzt CWT/DWT für Multi-Auflösungs-Darstellung mit besserer Kompression als JPEG-DCT. Rauschunterdrückung: Wavelet-Koeffizienten-Schwellwertverfahren entfernt Rauschen unter Erhaltung von Kanten. Kantenerkennung: Haar- und Gauß-Ableitungs-Wavelets erkennen Diskontinuitäten. Biomedizinische Analyse: EKG-Wavelet-Zerlegung isoliert den QRS-Komplex. Seismologie: Detektion von Ankunftszeiten und Frequenzgehalt seismischer Phasen. Musiks Synthese: Wavelet-basierte additive Synthese erzeugt zeitlich veränderliche Klangfarben.
Beginnen Sie mit dem Einzelimpuls-Preset: ein Morlet-Wavelet in der Mitte des Zeitfensters. Ziehen Sie den Skala-Schieberegler zum Dehnen oder Stauchen des Wavelets und beobachten Sie, wie die untere Ellipse in der Zeit breiter wird und auf der Pseudofrequenzachse nach unten wandert. Ziehen Sie Verschiebung, um es in der Zeit zu bewegen. Probieren Sie das Chirp-Preset: drei Morlet-Pakete mit abnehmender Skala (steigender Pseudofrequenz) bilden eine sweep-artige Folge. Das Multi-Skala-Preset platziert drei Mexican-Hat-Wavelets an derselben Position mit verschiedenen Skalen, um grobe und feine Struktur zu vergleichen. Das Schwebungs-Preset verwendet zwei Morlet-Pakete mit nahe beieinanderliegenden Skalen, um Interferenz zu zeigen. Fügen Sie Komponenten hinzu, ändern Sie den Wavelet-Typ und beobachten Sie, wie das synthetisierte Signal (weiße Kurve) die Summe aller Komponenten (farbige Kurven) ist.