Выбирайте материнские вейвлеты, регулируйте параметры масштаба и сдвига, накладывайте компоненты и наблюдайте временные формы сигналов и время-частотную локализацию в реальном времени
Вейвлет — это локализованная осциллирующая функция ψ(t) с нулевым средним и конечной энергией. В отличие от синусоид в анализе Фурье, вейвлеты ограничены как во времени, так и по частоте. Четыре распространённых материнских вейвлета: (1) Хаар — простая ступенчатая функция, разрывная, но с компактным носителем, идеальна для обнаружения контуров. (2) Морле — гауссово-оконная колебательная функция, часто записываемая как e^(-t²/2)·(cos(ω₀t)-C), где константа C используется для почти нулевого среднего и хорошей частотной локализации. (3) Мексиканская шляпа — вторая производная гауссианы ψ(t) = (1-t²)·e^(-t²/2), симметричная с хорошей локализацией в обоих доменах. (4) Производная Гаусса — первая производная гауссианы ψ(t) = -t·e^(-t²/2), антисимметричная, чувствительная к наклонам сигнала. Каждый вейвлет масштабируется параметром a и сдвигается на b: ψ_{a,b}(t) = (1/√a)·ψ((t-b)/a).
Принцип неопределённости Гейзенберга утверждает, что сигнал не может быть одновременно локализован с произвольной точностью во времени и частоте: Δt · Δf ≥ 1/(4π). Вейвлеты используют это, адаптируя разрешение: при большом масштабе (низкая псевдочастота) вейвлет широк во времени, но узок по частоте; при малом масштабе (высокая псевдочастота) — узок во времени, но широк по частоте. Это свойство мультиразрешения делает вейвлеты превосходящими STFT для сигналов с переходными процессами. Эллипсы в нижнем графике показывают этот компромисс в представлении время-псевдочастота: более широкий эллипс означает большую временную протяжённость, более высокий — больший частотный разброс.
Сжатие изображений: JPEG 2000 использует CWT/DWT для мультиразрешённого представления. Очистка от шума: пороговая обработка вейвлет-коэффициентов удаляет шум, сохраняя контуры. Обнаружение контуров: вейвлеты Хаара и производная Гаусса эффективны для обнаружения разрывов. Биомедицинский анализ: вейвлет-разложение ЭКГ изолирует комплекс QRS. Сейсмология: обнаружение времён прихода и частотного содержания сейсмических фаз. Музыкальный синтез: аддитивный синтез на основе вейвлетов создаёт изменяющиеся во времени тембры.
Начните с пресета «Одиночный импульс»: один вейвлет Морле в центре временного окна. Перетащите ползунок Масштаб для растяжения или сжатия вейвлета и наблюдайте, как нижний эллипс расширяется по времени и опускается по оси псевдочастоты. Перетащите Сдвиг для перемещения во времени. Попробуйте пресет Чирп: три пакета Морле с убывающим масштабом (растущей псевдочастотой) образуют последовательность, похожую на свип. Пресет Мультимасштаб размещает три мексиканские шляпы в одной позиции с разными масштабами, чтобы сравнить грубую и тонкую структуру. Пресет Биения использует два пакета Морле с близкими масштабами для демонстрации интерференции. Добавляйте компоненты, меняйте тип вейвлета и наблюдайте, как синтезированный сигнал (белая кривая) является суммой всех компонентов (цветные кривые).