Sélectionnez des ondelettes mères, ajustez les paramètres d'échelle et de décalage, superposez les composantes et observez les formes d'onde et la localisation temps-fréquence en temps réel
Une ondelette est une fonction oscillatoire localisée ψ(t) de moyenne nulle et d'énergie finie. Contrairement aux ondes sinusoïdales de l'analyse de Fourier, les ondelettes sont confinées en temps et en fréquence. Quatre ondelettes mères courantes : (1) Haar — fonction échelon simple, discontinue mais à support compact, idéale pour la détection de contours. (2) Morlet — fonction oscillatoire à fenêtre gaussienne, souvent écrite e^(-t²/2)·(cos(ω₀t)-C), où la constante C sert à conserver une moyenne proche de zéro et une bonne localisation fréquentielle. (3) Chapeau mexicain — dérivée seconde d'une gaussienne ψ(t) = (1-t²)·e^(-t²/2), symétrique avec bonne localisation dans les deux domaines. (4) Dérivée gaussienne — dérivée première d'une gaussienne ψ(t) = -t·e^(-t²/2), antisymétrique, sensible aux pentes du signal. Chaque ondelette est dilatée par l'échelle a et translatée par le décalage b : ψ_{a,b}(t) = (1/√a)·ψ((t-b)/a).
Le principe d'incertitude de Heisenberg stipule qu'un signal ne peut être simultanément localisé avec une précision arbitraire en temps et en fréquence : Δt · Δf ≥ 1/(4π). Les ondelettes exploitent ceci en adaptant la résolution : à grande échelle (basse pseudo-fréquence), l'ondelette est large en temps mais étroite en fréquence ; à petite échelle (haute pseudo-fréquence), elle est étroite en temps mais large en fréquence. Cette propriété multi-résolution rend les ondelettes supérieures à la STFT pour les signaux transitoires. Les ellipses du graphique inférieur visualisent ce compromis dans une vue temps-pseudo-fréquence : plus elles sont larges, plus le support temporel est grand ; plus elles sont hautes, plus l'étalement fréquentiel est fort.
Compression d'image : JPEG 2000 utilise la CWT/DWT pour une représentation multi-résolution, atteignant une compression supérieure au DCT de JPEG. Débruitage : le seuillage des coefficients d'ondelette supprime le bruit tout en préservant les contours. Détection de contours : les ondelettes de Haar et dérivée gaussienne excellent à détecter les discontinuités. Analyse biomédicale : la décomposition en ondelettes des signaux ECG isole le complexe QRS. Sismologie : détection des temps d'arrivée et du contenu fréquentiel des phases sismiques. Synthèse musicale : la synthèse additive basée sur les ondelettes crée des timbres variants dans le temps.
Commencez par le preset Impulsion unique : une ondelette de Morlet au centre de la fenêtre temporelle. Faites glisser le curseur d'Échelle pour étirer ou comprimer l'ondelette et observez comment l'ellipse inférieure s'élargit dans le temps et descend en pseudo-fréquence. Faites glisser Décalage pour la déplacer dans le temps. Essayez le preset Chirp : trois paquets de Morlet à échelle décroissante (pseudo-fréquence croissante) forment une séquence de type balayage. Le preset Multi-échelle place trois chapeaux mexicains à la même position avec différentes échelles pour comparer structure fine et structure grossière. Le preset Battement utilise deux paquets de Morlet d'échelles proches pour illustrer l'interférence. Ajoutez des composantes, changez le type d'ondelette et observez comment le signal synthétisé (courbe blanche) est la somme de toutes les composantes (courbes colorées).