通过 Mathieu 方程探索参数共振：调节调制频率与深度，观察 Ince-Strutt 稳定性图
参数共振发生在系统参数（而非外力）被周期性调制时。对于固有频率为 ω₀ 的振荡器，以频率 Ω 调制弹簧常数产生 Mathieu 方程：d²x/dt² + 2γ(dx/dt) + ω₀²[1 + ε·cos(Ωt)]·x = 0。与驱动力频率等于 ω₀ 的受迫共振不同，参数共振在调制频率 Ω ≈ 2ω₀ 时最强——是固有频率的两倍。此时微小扰动指数增长 x(t) ∝ exp(σt)，增长率 σ 取决于调制深度 ε 和阻尼 γ。主共振区的不稳定阈值条件为 ε > 4γ/ω₀。Ince-Strutt 图在 (ε, Ω/2ω₀) 参数平面上标出稳定（衰减）和不稳定（增长）区域。
Mathieu 方程是具有周期系数的线性常微分方程。Floquet 理论指出其解的形式为 x(t) = e^(σt)·p(t)，其中 p(t) 以周期 T = 2π/Ω 为周期，σ 是 Floquet 指数。当 Re(σ) > 0 时系统不稳定。数值上，我们用两个初始条件 (1,0) 和 (0,1) 积分一个周期得到单周期矩阵 M，然后计算 Floquet 乘子。条件 ρ(M) > 1（ρ 为谱半径）表明不稳定；这个判据同样适用于有阻尼系统。通过在 (ε, Ω/2ω₀) 网格上评估此条件构建 Ince-Strutt 图。多个不稳定舌形区出现在 Ω/2ω₀ = 1/n（n = 1, 2, 3...），其中 n=1 的舌形区最宽、物理意义最重要。
荡秋千：以两倍摆频率蹬腿改变有效摆长——经典参数振荡器。Paul 离子阱：使用射频振荡电场约束离子，四极势产生参数振荡。光学参量振荡器 (OPO)：光学腔内非线性晶体将频率 Ω 的泵浦光子转换为频率接近 ω₀ 的信号和闲频光子，当 Ω ≈ 2ω₀ 时增益最大。MEMS 微镜：参数激励放大扭振用于投影显示。Faraday 波：垂直振动的容器中流体在振动频率接近表面波频率两倍时形成驻波图案。参量放大器：利用参数共振实现超导电路和光学系统中的低噪声信号放大。
从「主共振」预设开始：Ω/2ω₀ = 1.0 位于主不稳定舌形区中心。点击动画观察振幅指数增长——这就是参数共振。稳定性图（右下）用十字标出你的位置，在红色不稳定区内。切换到「失谐」：十字移到稳定（蓝色）区域，振幅衰减。尝试「阈值」预设：刚好在不稳定边缘，阻尼勉强抑制增长。稍微增大 ε 即可推入不稳定区。「深度调制」展示强烈指数增长。「次谐波」展示 Ω/2ω₀ = 0.5 处的第二不稳定区。调节阻尼 γ 观察不稳定区缩小——稳定性图自动更新。相图（左下）揭示定性差异：稳定时向内螺旋，不稳定时向外螺旋。