二维轨迹
位置分布（x 轴投影）
MSD 随时间（双对数）
重尾随机游走、α 稳定分布与超扩散标度——探索控制动物觅食、金融收益与湍流输运的非高斯随机过程
α 稳定分布是正态分布的推广，特征函数为 φ(t)=exp(−|σt|^α)。重尾遵循幂律 P(|l|>x) ~ x^(−α)。
步长服从 P(l) ∝ l^(−1−α)。当 α<2 时方差无穷大，罕见但极大的跳跃主导轨迹，打破经典中心极限定理。
Chambers-Mallows-Stuck（1976）由均匀分布 U∈(−π/2,π/2) 与指数分布 W∈Exp(1) 生成对称 α 稳定样本：X = sin(αU)/cos(U)^(1/α) · [cos((1−α)U)/W]^((1−α)/α)。
均方位移按 ⟨x²⟩ ~ t^(2/α) 增长。布朗 (α=2) 线性 t；柯西 (α=1) 抛物线 t²。当 α<2 时超扩散占主导——游走者探索空间的速度远超普通扩散理论的预测。
经典 CLT 要求方差有限。在重尾情形 (α<2)，重新尺度化和 n^(−1/α)Σξ_i 仍收敛——但极限是 α 稳定分布，而非高斯。α 稳定律是幂律和的唯一吸引子。
列维飞行轨迹是自相似的：时间放大 b 倍、空间放大 b^(1/α) 倍后得到统计相同的图像。其分形维数恰为 α。
信天翁、鲨鱼、海洋捕食者甚至 T 细胞，在食物稀疏时呈列维模式——短距离局部搜索被长距离迁移跳跃打断。α≈2 对稀疏资源搜索最优（Viswanathan 1996）。
资产收益呈现 α∈(1.5,1.8) 的肥尾，解释了高斯 Black-Scholes 模型低估的「黑天鹅」事件。Mandelbrot（1963）首次为棉花价格提出列维稳定律。
超扩散出现在湍流、等离子体输运、冷原子中的光子传输与无序介质中的分子运动。连续时间随机游走（CTRW）将列维飞行与分数阶 Fokker-Planck 方程联系起来。