Trajectoire 2D
Distribution de position (projection axe x)
MSD en fonction du temps (log-log)
Marches aléatoires à queues lourdes, distributions α-stables et lois d'échelle superdiffusives — explorez les processus non gaussiens qui régissent la quête animale, les rendements financiers et le transport turbulent
Une distribution α-stable généralise la loi normale. Sa fonction caractéristique est φ(t)=exp(−|σt|^α). Les queues lourdes suivent la loi de puissance P(|l|>x) ~ x^(−α).
La longueur de pas suit P(l) ∝ l^(−1−α). Lorsque α<2 la variance est infinie : des sauts rares mais énormes dominent la trajectoire et brisent le théorème central limite classique.
Chambers-Mallows-Stuck (1976) engendre des échantillons α-stables symétriques à partir de U∈(−π/2,π/2) et W∈Exp(1) : X = sin(αU)/cos(U)^(1/α) · [cos((1−α)U)/W]^((1−α)/α).
Le déplacement quadratique moyen croît comme ⟨x²⟩ ~ t^(2/α). Brownien (α=2) : t linéaire. Cauchy (α=1) : t² quadratique. Pour α<2 la superdiffusion domine — le marcheur explore l'espace bien plus vite que la théorie ordinaire de la diffusion.
Le TCL classique exige une variance finie. Avec des queues lourdes (α<2) la somme rééchelonnée n^(−1/α)Σξ_i converge encore, mais vers une loi α-stable, pas gaussienne. Les lois α-stables sont les seuls attracteurs pour les sommants à queue de puissance.
Les trajectoires de Lévy sont auto-similaires : zoomer d'un facteur b en temps et b^(1/α) en espace donne une image statistiquement identique. Leur dimension fractale vaut α.
Albatros, requins, prédateurs marins et même les lymphocytes T se déplacent selon des motifs de Lévy lorsque la nourriture est rare : recherches locales courtes ponctuées de longs sauts de relocalisation. α≈2 est optimal pour la recherche en milieu pauvre (Viswanathan, 1996).
Les rendements présentent des queues épaisses avec α∈(1,5; 1,8), expliquant les 'cygnes noirs' que les modèles gaussiens de Black-Scholes sous-estiment. Mandelbrot (1963) a proposé des lois Lévy-stables pour les prix du coton.
La superdiffusion apparaît dans les écoulements turbulents, le transport plasma, le transport photonique dans les atomes froids et le mouvement moléculaire en milieu désordonné. Les marches aléatoires à temps continu (CTRW) relient les vols de Lévy aux équations fractionnaires de Fokker-Planck.