Trayectoria 2D
Distribución de posición (proyección eje x)
MSD vs tiempo (log-log)
Caminatas aleatorias de cola pesada, distribuciones α-estables y escalado superdifusivo: explora procesos no gaussianos que rigen el forrajeo animal, los rendimientos financieros y el transporte turbulento
Una distribución α-estable generaliza la normal. Su función característica es φ(t)=exp(−|σt|^α). Las colas pesadas siguen la ley de potencias P(|l|>x) ~ x^(−α).
La longitud de paso sigue P(l) ∝ l^(−1−α). Cuando α<2 la varianza es infinita: saltos raros pero enormes dominan la trayectoria y rompen el teorema central del límite clásico.
Chambers-Mallows-Stuck (1976) genera muestras α-estables simétricas a partir de U∈(−π/2,π/2) y W∈Exp(1): X = sin(αU)/cos(U)^(1/α) · [cos((1−α)U)/W]^((1−α)/α).
El desplazamiento cuadrático medio crece como ⟨x²⟩ ~ t^(2/α). Browniano (α=2): t lineal. Cauchy (α=1): t² cuadrático. Para α<2 domina la superdifusión: el caminante explora el espacio mucho más rápido de lo que predice la teoría ordinaria.
El TCL clásico exige varianza finita. Con colas pesadas (α<2) la suma reescalada n^(−1/α)Σξ_i sigue convergiendo, pero a una distribución α-estable, no gaussiana. Las leyes α-estables son los únicos atractores para sumandos con cola de potencia.
Las trayectorias Lévy son autosimilares: ampliar el tiempo por b y el espacio por b^(1/α) produce una imagen estadísticamente idéntica. Su dimensión fractal es α.
Albatros, tiburones, depredadores marinos e incluso células T se mueven en patrones Lévy cuando el alimento es escaso: búsquedas locales cortas interrumpidas por largos saltos de relocalización. α≈2 es óptimo para búsqueda con recursos dispersos (Viswanathan, 1996).
Los rendimientos exhiben colas pesadas con α∈(1.5,1.8), explicando los 'cisnes negros' que los modelos gaussianos de Black-Scholes subestiman. Mandelbrot (1963) propuso leyes Lévy-estables para precios del algodón.
La superdifusión aparece en flujos turbulentos, transporte de plasma, transporte de fotones en átomos fríos y movimiento molecular en medios desordenados. Los caminos aleatorios en tiempo continuo (CTRW) conectan los vuelos Lévy con ecuaciones fraccionarias de Fokker-Planck.