2D траектория
Распределение позиции (проекция на x)
MSD от времени (лог-лог)
Случайные блуждания с тяжёлыми хвостами, α-устойчивые распределения и супердиффузионное масштабирование — исследуйте негауссовские случайные процессы в поведении животных, доходностях рынков и турбулентном переносе
α-устойчивое распределение обобщает нормальное. Его характеристическая функция φ(t)=exp(−|σt|^α). Тяжёлые хвосты следуют степенному закону P(|l|>x) ~ x^(−α).
Длина шага подчиняется P(l) ∝ l^(−1−α). При α<2 дисперсия бесконечна: редкие, но огромные прыжки доминируют в траектории и нарушают классическую центральную предельную теорему.
Чемберс-Мэллоуз-Стак (1976) генерирует симметричные α-устойчивые выборки из U∈(−π/2,π/2) и W∈Exp(1): X = sin(αU)/cos(U)^(1/α) · [cos((1−α)U)/W]^((1−α)/α).
Среднеквадратичное смещение растёт как ⟨x²⟩ ~ t^(2/α). Броуновское (α=2): линейно по t. Коши (α=1): квадратично t². При α<2 преобладает супердиффузия — блуждающий исследует пространство гораздо быстрее, чем предсказывает обычная теория.
Классическая ЦПТ требует конечной дисперсии. С тяжёлыми хвостами (α<2) перешкалированная сумма n^(−1/α)Σξ_i всё ещё сходится — но к α-устойчивому распределению, а не к гауссову. α-устойчивые законы — единственные аттракторы для слагаемых со степенным законом.
Траектории Леви самоподобны: увеличение времени в b раз и пространства в b^(1/α) раз даёт статистически тождественную картину. Их фрактальная размерность равна α.
Альбатросы, акулы, морские хищники и даже Т-клетки движутся по моделям Леви, когда пища редка: короткие локальные поиски прерываются длинными прыжками-перемещениями. α≈2 оптимально для поиска редких ресурсов (Viswanathan, 1996).
Доходности активов имеют тяжёлые хвосты с α∈(1,5; 1,8), объясняя «чёрных лебедей», недооцениваемых гауссовскими моделями Блэка-Шоулза. Мандельброт (1963) предложил α-устойчивые законы для цен на хлопок.
Супердиффузия проявляется в турбулентных потоках, переносе плазмы, переносе фотонов в холодных атомах и движении молекул в неупорядоченных средах. Случайные блуждания в непрерывном времени (CTRW) связывают полёты Леви с дробными уравнениями Фоккера-Планка.