Trajetória 2D
Distribuição da posição (projeção eixo x)
MSD vs tempo (log-log)
Caminhadas aleatórias de cauda pesada, distribuições α-estáveis e escala superdifusiva — explore processos não gaussianos que regem o forrageamento animal, retornos financeiros e transporte turbulento
Uma distribuição α-estável generaliza a normal. Sua função característica é φ(t)=exp(−|σt|^α). As caudas pesadas seguem a lei de potência P(|l|>x) ~ x^(−α).
O comprimento do passo segue P(l) ∝ l^(−1−α). Quando α<2 a variância é infinita: saltos raros mas enormes dominam a trajetória e quebram o teorema central do limite clássico.
Chambers-Mallows-Stuck (1976) gera amostras α-estáveis simétricas a partir de U∈(−π/2,π/2) e W∈Exp(1): X = sin(αU)/cos(U)^(1/α) · [cos((1−α)U)/W]^((1−α)/α).
O deslocamento quadrático médio cresce como ⟨x²⟩ ~ t^(2/α). Browniano (α=2): t linear. Cauchy (α=1): t² quadrático. Para α<2 a superdifusão domina — o caminhante explora o espaço muito mais rápido do que prevê a teoria comum.
O TCL clássico requer variância finita. Com caudas pesadas (α<2) a soma reescalonada n^(−1/α)Σξ_i ainda converge — mas para uma distribuição α-estável, não gaussiana. Leis α-estáveis são os únicos atratores para somandos com lei de potência.
Trajetórias de Lévy são auto-similares: aumentar o tempo por b e o espaço por b^(1/α) gera uma imagem estatisticamente idêntica. Sua dimensão fractal é α.
Albatrozes, tubarões, predadores marinhos e até células T se movem em padrões Lévy quando o alimento é escasso: buscas locais curtas pontuadas por longos saltos de relocação. α≈2 é ótimo para busca em recursos esparsos (Viswanathan, 1996).
Os retornos exibem caudas pesadas com α∈(1,5; 1,8), explicando os 'cisnes negros' que os modelos gaussianos de Black-Scholes subestimam. Mandelbrot (1963) propôs leis Lévy-estáveis para preços do algodão.
A superdifusão aparece em escoamentos turbulentos, transporte de plasma, transporte de fótons em átomos frios e movimento molecular em meios desordenados. Caminhadas aleatórias de tempo contínuo (CTRW) ligam voos de Lévy a equações fracionárias de Fokker-Planck.