Каков порядок погрешности у составного метода трапеций?

Теоретическая глобальная погрешность составляет O(h²): при увеличении числа разбиений n в два раза погрешность уменьшается приблизительно в четыре раза.

Для каких функций метод дает точный результат?

Формула трапеций дает точное значение интеграла (с точностью до ошибок округления) для любых линейных и константных функций f(x) = kx + c.

Может ли нижний предел a быть больше верхнего предела b?

Да, если a > b, калькулятор корректно вычислит интеграл с обратным знаком согласно базовым правилам математического анализа.

Какие математические функции можно использовать в выражении f(x)?

Поддерживаются арифметические операции, возведение в степень, а также стандартные функции: sin, cos, exp, ln, sqrt и другие.

Обязательно ли заполнять поле точной первообразной F(x)?

Нет, поле необязательно. Если его не заполнять, калькулятор просто выведет численное приближение интеграла без строки сравнения и абсолютной погрешности.

Elysia Tools

Навигация

Math & Numbers

Интегрирование методом трапеций (∫f(x)dx)

Вычисляет ∫ₐᵇ f(x)dx составным методом трапеций: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), с таблицей по узлам, оценкой интеграла и необязательным сравнением с точным значением и абсолютной погрешностью; погрешность O(h²) (точен для линейных). Пример: ∫₀¹x²dx при n=4 даёт 0,34375 против точного 1/3, ошибка 0,010417.

Запуск

Запустить этот инструмент

Заполните форму, запустите инструмент и посмотрите результат на этой же странице.

Подготовленные примеры запуска

Нажмите пример, чтобы автоматически заполнить форму. Файлы по-прежнему нужно загрузить.

2 примеров

∫₀¹ x² dx, n = 4 → T = 0,343750 (точно 1/3, ошибка 0,010417)

При h = 0,25 сумма трапеций T = 0,25/2·(0 + 2·(0,0625 + 0,25 + 0,5625) + 1) = 0,34375. Точное значение 1/3 = 0,333333, абсолютная погрешность 0,010417 — ожидаемое поведение O(h²).

Composite trapezoidal rule ∫ from 0 to 1 of f(x) dx, f(x) = x^2, n = 4 subintervals, h = 0.25 i x_i f(x_i) 0 0.000000 0.000000 1 0.250000 0.062500 … 4 1.000000 1.000000 Trapezoid estimate: T ≈ 0.343750 Exact F(b) - F(a) = 0.333333, |error| ≈ 0.010417

∫₀¹ e^x dx, n = 4 → T ≈ 1,727222 (точно e − 1)

При h = 0,25 метод трапеций даёт 1,727222 для ∫e^x dx на [0, 1]; точное значение e − 1 = 1,718282, погрешность около 0,008940. Удвоение n уменьшает ошибку примерно вчетверо — визитная карточка метода второго порядка.

Composite trapezoidal rule ∫ from 0 to 1 of f(x) dx, f(x) = e^x, n = 4 subintervals, h = 0.25 Trapezoid estimate: T ≈ 1.727222 Exact F(b) - F(a) = 1.718282, |error| ≈ 0.008940

Ввод

Заполните нужные поля и запустите инструмент.

6 параметров

СодержимоеВставьте или введите основные значения.2

Подынтегральная f(x)textОбязательноIntegrand in x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …).Точная первообразная F(x) (необязательно)textНеобязательноExact antiderivative in x; the tool reports F(b) − F(a) and the absolute error. Leave empty to skip.

НастройкиНастройте форматы, диапазоны, числа и режимы.4

Нижний предел anumberОбязательноВерхний предел bnumberОбязательноMay be less than a (the integral flips sign, as in calculus).Число подынтервалов nnumberОбязательноh = (b − a)/n. More subintervals → smaller error, O(h²) globally.Знаков после запятойnumberНеобязательно

Результат

Готово к запуску

После запуска здесь появятся файлы, текст, структурированные данные или потоковый вывод.

Примеры

Примеры для этого инструмента

Связано

Интегрирование методом трапеций (∫f(x)dx)

Запустить этот инструмент

Подготовленные примеры запуска

Ввод

Результат

Примеры для этого инструмента

Продолжить с похожими инструментами и темами

Подготовленные примеры запуска

Ввод

Результат

Узнайте, когда использовать этот инструмент, что он поддерживает и как его применяют пользователи.

Ключевые факты

Обзор

Когда использовать

Как это работает

Сценарии использования

Примеры

1. Интегрирование степенной функции на отрезке [0, 1]

2. Численное интегрирование экспоненты

FAQ

Примеры Обработки Изображений Web Python

Примеры Обработки Изображений Android Java

Примеры Обработки Изображений Android Kotlin

Примеры Обработки Изображений Web Rust

Решатель ОДУ первого порядка (разделение переменных)

Калькулятор метода Ньютона-Рафсона

Интегрирование по формуле Симпсона (∫f(x)dx)

Численный решатель Рунге—Кутты 4-го порядка (RK4)

Инструменты кодирования и конвертации аудио

Инструменты конвертации форматов изображений и анимированного экспорта

Инструменты JSON-обмена и перевода форматов

Инструменты перевода цветовых пространств для веба и печати