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Diferença de caminho óptico Δ = n·d e fase δ = 2π·Δ/λ₀: converte uma diferença geométrica de trajeto em caminho óptico e fase, classificando a interferência como construtiva (múltiplos inteiros de λ), destrutiva (seminteiros) ou intermediária, com modo opcional de ida e volta para películas finas e espelhos. Âncoras: 275 nm extras no ar diante de 550 nm são exatamente meia onda → 180°, franja escura; uma película de vidro de 200 nm (n = 1.5) percorrida duas vezes dá 600 nm de caminho óptico diante de 600 nm → um ciclo completo, construtiva.

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O fator de Lorentz γ = 1/√(1−v²/c²) — o número único que percorre todos os efeitos da relatividade restrita. Junto a γ são dados 1/γ (o fator de contração de comprimento e de desaceleração de relógios), βγ = p/mc (a escala de momento dos físicos de partículas) e √(1−β²). Com β = 0.99, γ = 7.088812; com β = 0.999 já triplicou para 22.366272 — a divergência que torna a última fração da velocidade da luz a mais cara. Velocidade em β ou m/s.

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Ampliação dos três instrumentos clássicos: lupa M = D/f (D = 25 cm ponto próximo), microscópio M = (L/f_o)·(D/f_e) (L = comprimento do tubo) e telescópio M = f_o/f_e (razão pura de focais). Cada modo lê as distâncias focais necessárias em milímetros e mostra a fatoração da ampliação — a estrutura 40× × 10× = 400× do microscópio fica à vista.

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Abertura numérica NA = n·sinα, onde α é o meio-ângulo do maior cone de luz que a objetiva aceita e n o índice do meio. A NA limita tanto a captação de luz quanto a resolução; com um comprimento de onda opcional a ferramenta também dá o limite de Abbe d = λ/(2·NA). Os exemplos são os dois regimes do microscópio: objetiva seca (NA = 0.5, d = 550 nm) e imersão em óleo (n = 1.515, α = 60° → NA = 1.312028, d = 209.599 nm).

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Rapidez φ = artanh(β): o ângulo hiperbólico que transforma a adição relativística de velocidades em adição comum. Boosts compõem-se somando rapidezas (tanh(φ₁+φ₂) = β resultante), γ = cosh φ, γβ = sinh φ, e e^φ é o fator Doppler longitudinal. Com β = 0.5, φ = 0.549306 e dobrá-lo dá tanh(1.098612) = 0.8 — o caso 0.5c + 0.5c = 0.8c reduzido a 2φ.

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Efeito Doppler relativístico longitudinal: uma fonte que se afasta com β dá f = f₀·√((1−β)/(1+β)) e desvio para o vermelho 1+z = √((1+β)/(1−β)); ao aproximar-se a razão se inverte em desvio para o azul. Retorna a razão de frequências, z, e a frequência e o comprimento de onda observados com a banda. O exemplo segue a linha Hα de uma galáxia que se afasta a 0.5c rumo ao infravermelho — o mesmo desplazamento da cosmologia e das pesquisas de velocidades radiais.

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Energia cinética relativística K = (γ−1)mc²: a energia total γmc² menos a energia de repouso mc², junto com a clássica ½mv² e a razão K/K_clássica — a 0.8c a fórmula clássica já subestima à metade, e perto de c a defasagem diverge. Elétron/próton/massa personalizada, velocidade em β ou m/s, energias em MeV/GeV: a resposta direta de quanto energia custa acelerar.

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Momento relativístico p = γmv (γ = 1/√(1−v²/c²)): o fator γ substitui o mv clássico e diverge quando v → c — a razão pela qual nenhuma partícula massiva pode ser acelerada até a velocidade da luz. Retorna kg·m/s e o p·c em unidades eV caras aos físicos de partículas, junto com o mv clássico para comparação (a razão é exatamente γ). Elétron/próton/massa personalizada, velocidade em β ou m/s.

AI Tools

Defina uma ferramenta LLM uma vez e gere payloads de function-calling validados para OpenAI, Anthropic e Gemini.

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Níveis de uma caixa de potencial infinita 1D, E_n = n²h²/(8mL²): partícula elétron/próton/nêutron/alfa ou massa personalizada, comprimento da caixa em unidades de m a pm. Retorna E_1 (energia de ponto zero — a partícula nunca pode estar em repouso), o nível pedido, a verificação da onda estacionária de de Broglie λ_dB = 2L/n, o comprimento de onda do fóton da transição n+1 → n e, opcionalmente, a escada de níveis até n = 12. Prender um próton numa caixa nuclear de 10 fm dá ~2 MeV de ponto zero — é por isso que a física nuclear vive na faixa de MeV.

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Verifica se n é um número perfeito (igual à soma dos seus divisores próprios, σ(n) = 2n). Fatora n (≤ 10¹²) por divisão por tentativa, calcula σ(n) e a soma dos divisores próprios pela fórmula de potências de primos, classifica n como deficiente/perfeito/abundante e dá o índice de abundância σ(n)/n; para os perfeitos recupera a forma de Euclides–Euler 2^(p−1)·(2^p − 1) e lista os sete números perfeitos pares até 10¹². Pode listar os divisores próprios quando forem ≤ 200.

Math & Numbers

Calcula a ordem multiplicativa ord_n(a) — o menor k ≥ 1 com a^k ≡ 1 (mod n) (exige mdc(a, n) = 1). O algoritmo parte de φ(n) e vai removendo fatores primos testando a^(ord/p); a saída inclui a tabela de potências de a, a prova de minimalidade (a^(k/p) ≢ 1 para cada primo p | k), o subgrupo cíclico gerado <a>, e indica se a é raiz primitiva (ord = φ(n)) ou atinge a ordem máxima (ord = λ(n)). Clássicos: ord_7(3) = 6 = φ(7), 3 é raiz primitiva mod 7; ord_15(2) = 4 < φ(15) = 8.