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Calcule le symbole de Jacobi (a/n) (n impair jusqu'à 10¹⁸ ; Legendre si n est premier) : modulo un nombre premier, a^((n−1)/2) ≡ 1 signifie résidu quadratique et Tonelli–Shanks (ou la formule directe si p ≡ 3 (mod 4)) fournit les racines ±√a ; le symbole −1 certifie que a n'est PAS un résidu. Pour un module composé le symbole n'est que nécessaire : −1 prouve la non-résiduosité, +1 reste non concluant (résolu par force brute quand n ≤ 10⁵). Classique : 10 est un résidu quadratique mod 13 avec racines ±6.

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Calcule les métriques en régime permanent de la file M/M/1 : arrivées de Poisson (taux λ), service exponentiel (taux μ), FCFS. Exige λ < μ, sinon le système est instable et l'entrée est rejetée. Rapporte le taux d'occupation ρ, la probabilité P0 de système vide, les nombres moyens L (dans le système) et Lq (en file), les temps moyens W et Wq, la probabilité d'attendre ρ et les probabilités d'état P(n) = (1−ρ)ρⁿ (n = 0…5), avec vérification croisée par la loi de Little L = λW, Lq = λWq. Classique : λ = 4/h, μ = 6/h → ρ = 0.6667, L = 2, Lq = 1.3333, W = 0.5, Wq = 0.3333.

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Calcule les métriques en régime permanent de la file M/M/c (arrivées de Poisson de taux λ, c serveurs exponentiels identiques de taux μ, file FCFS unique) : trafic offert a = λ/μ, taux d'occupation par serveur ρ, probabilité P0 de système vide, probabilité d'attente d'Erlang-C Pw, nombres moyens Lq et L, temps moyens W et Wq, avec vérification croisée par la loi de Little et la relation Pw→Lq. Exige λ < cμ (sinon rejet pour instabilité) ; avec c = 1 les formules retombent sur M/M/1. Classique : λ = 6/h, μ = 3/h, c = 3 → P0 = 0.1111, Pw = 0.4444, Lq = 0.8889, L = 2.8889.

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Conversion bidirectionnelle entre pH et concentration en ions hydrogène : [H⁺] = 10^(−pH) mol/L et pH = −log₁₀[H⁺]. Accepte mol/L, mmol/L, µmol/L et nmol/L (la physiologie clinique utilise nmol/L : le sang artériel à pH 7,35–7,45 correspond à ≈35–45 nmol/L ; pH 7,40 ↔ 39,8 nmol/L) ; la plage de pH −3 à 16 couvre des superacides aux bases concentrées.

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Coefficient de Poisson ν = −ε_lat/ε_long (déformation latérale sur longitudinale avec signe moins). Trois directions : pour ν donnez ε_lat et ε_long ; pour ε_lat donnez ν et ε_long ; pour ε_long donnez ν et ε_lat. Traction : ε_long>0, ε_lat<0. Typique : acier ≈ 0,30, aluminium ≈ 0,33, caoutchouc ≈ 0,49, liège ≈ 0. Plage théorique 0≤ν≤0,5.

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Calcule toutes les propriétés de l'air humide à partir de la température de bulbe sec et d'un paramètre d'humidité (HR φ, bulbe humide, point de rosée ou rapport de mélange W) : W, φ, point de rosée, bulbe humide, enthalpie h, volume spécifique v, pressions partielle P_w et de saturation P_ws. Formule de Magnus ; bulbe humide résolu par itération. Atmosphère standard 101,325 kPa (ajustable). Température en °C/K/°F ; sortie en °C.

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Calcule le débit à travers un diaphragme selon ISO 5167 (fluide incompressible, Bernoulli + coefficient de débit C_d) : A=π·d²/4, débit volumique Q=C_d·A·√(2·ΔP/ρ), débit massique ṁ=C_d·A·√(2·ρ·ΔP), vitesse au col v=C_d·√(2·ΔP/ρ). Si le diamètre de conduite D est fourni, le rapport β=d/D est renvoyé. ΔP≥0, ρ>0, C_d par défaut 0,61 (diaphragme à arête vive). Diamètre en m/cm/mm, pression en Pa/kPa/bar/atm/psi, masse volumique en kg/m³/g/cm³ ; le débit volumique est donné en m³/s, L/s, L/min et m³/h.

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Calcule le coefficient global de transfert de chaleur selon le modèle des résistances thermiques en série pour paroi plane : résistance totale R_total=ΣR_i (K/W), conductance thermique G=1/R_total (W/K) et coefficient surfacique U=1/(R_total·A) (W/(m²·K)) ; si ΔT est fourni, le flux Q=ΔT/R_total (W). R_i est la résistance de chaque couche (déjà rapportée à la surface, ex. convection R_conv=1/(h·A), conduction R_cond=d/(k·A), encrassement R_foul=R_f''/A). Saisissez une résistance par ligne, au moins une, toutes positives. ΔT peut être négatif (flux inverse) ; différence en °C = différence en K, différence en °F ×5/9.

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Calcule, selon les lois d'affinité, les performances d'une même pompe à différentes vitesses n ou avec différents diamètres de roue D : mode vitesse ratio=n₂/n₁, mode diamètre ratio=D₂/D₁, Q₂=Q₁·ratio, H₂=H₁·ratio², P₂=P₁·ratio³. Q₁, H₁ et P₁ sont des paramètres optionnels du point de fonctionnement de référence ; si tous sont omis, seul le ratio est renvoyé. Débit en m³/s/L/s/L/min/m³/h, hauteur en m/ft, puissance en W/kW/hp, diamètre en m/cm/mm ; les équivalents SI de Q/H/P sont également fournis.

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Calcule la hauteur totale d'une pompe centrifuge H=(p_d-p_s)/(ρ·g)+Δz+(v_d²-v_s²)/(2g) (en m), puis la puissance du fluide P_fluid=ρ·g·Q·H et la puissance sur l'arbre P_shaft=P_fluid/η. p_d et p_s sont des pressions manométriques (l'aspiration peut être négative) ; v_d et v_s se déduisent du débit et des diamètres des brides v=4Q/(π·D²) ; si un diamètre est laissé vide, le terme de hauteur de vitesse correspondant est omis. Pression en Pa/kPa/bar/atm/psi, débit en m³/s/L/s/L/min/m³/h, masse volumique en kg/m³/g/cm³ ; puissance en W/kW/hp.

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Calcule le coefficient de frottement de Darcy : pour Re<2000 utilise la formule laminaire f=64/Re ; en turbulent résout itérativement l'équation de Colebrook-White et fournit aussi l'approximation explicite de Haaland comme contrôle croisé. ε en m/mm/µm, D en m/cm/mm ; le résultat inclut la rugosité relative ε/D, le nombre d'itérations et le régime d'écoulement.

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Calcule la perte de charge principale (par frottement) de Darcy-Weisbach dans une conduite droite : ΔP=f·(L/D)·(ρ·v²/2) Pa ; perte de charge h_f=ΔP/(ρ·g)=f·(L/D)·v²/(2g) m. L'utilisateur saisit le facteur de frottement de Darcy f (pas Fanning). Longueur en m/km/ft, diamètre en m/cm/mm/inch, masse volumique en kg/m³/g/cm³/lb/ft³ (convertie en SI). Renvoie kPa, bar et charge en m/ft.