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Efecto Doppler relativista longitudinal: una fuente que se aleja con β da f = f₀·√((1−β)/(1+β)) y corrimiento al rojo 1+z = √((1+β)/(1−β)); al acercarse la razón se invierte en corrimiento al azul. Devuelve la razón de frecuencias, z, y la frecuencia y longitud de onda observadas con su banda. El ejemplo sigue la línea Hα de una galaxia que se aleja a 0.5c hacia el infrarrojo — el mismo desplazamiento de la cosmología y de las encuestas de velocidades radiales.

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Energía cinética relativista K = (γ−1)mc²: la energía total γmc² menos la energía en reposo mc², junto con la clásica ½mv² y el cociente K/K_clásica — a 0.8c la fórmula clásica ya subestima a la mitad, y cerca de c la brecha diverge. Electrón/protón/masa personalizada, velocidad como β o m/s, energías en MeV/GeV: responde directamente cuánta energía cuesta acelerar.

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Momento relativista p = γmv (γ = 1/√(1−v²/c²)): el factor γ sustituye al mv clásico y diverge cuando v → c — la razón de que ninguna partícula masiva pueda acelerarse hasta la velocidad de la luz. Devuelve kg·m/s y el p·c en unidades eV que usan los físicos de partículas, junto con el mv clásico para comparar (su razón es exactamente γ). Electrón/protón/masa personalizada, velocidad como β o m/s.

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Energía en reposo E₀ = mc²: los 0.510999 MeV del electrón y los 938.272088 MeV del protón son los dos anclas de la tabla de masas de la física de partículas (neutrón 939.565421 MeV; masa personalizada en kg bienvenida). Devuelve masa (kg y unidades de masa atómica) y energía (julios + unidades eV) — así citan las masas los artículos de colisionadores: un MeV es una unidad de masa.

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Resuelve la constante de normalización A (tal que ∫|ψ|²dx = 1) para las familias clásicas: pozo infinito ψ = A·sin(nπx/L) da A = √(2/L); gaussiana A·exp(−x²/(2σ²)) da A = (πσ²)^(−1/4); estado fundamental del oscilador A·exp(−mωx²/(2ℏ)) da A = (mω/πℏ)^(1/4); exponencial unilateral A·exp(−αx) da A = √(2α). Incluye la comprobación de probabilidad unitaria y los momentos ⟨x⟩, σ_x.

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Enumera las series espectrales del hidrógeno con la fórmula de Rydberg 1/λ = R∞(1/m² − 1/n²): Lyman (n→1, ultravioleta), Balmer (n→2, sobre todo visible), Paschen/Brackett/Pfund (n→3/4/5, infrarrojo). Muestra la longitud de onda en vacío y la energía de cada línea, nombra las primeras (Hα, Hβ… en Balmer; α, β… en las demás) con los colores de las cuatro líneas visibles de Balmer, y añade el límite de la serie n → ∞.

Date & Time

Analiza duraciones ISO 8601, valida extensiones 8601-2, ejecuta aritmética calendaire real, ordena por duración real y calcula diferencias.

Math & Numbers

Busca raíces primitivas módulo n: comprueba si n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k} (grupo multiplicativo cíclico), encuentra la raíz primitiva mínima con su certificado g^(φ/q) ≠ 1 para cada primo q | φ(n), cuenta las raíces como φ(φ(n)), lista hasta 50 de ellas o verifica si el orden de un candidato g es φ(n). Hasta 10¹².

Math & Numbers

Calcula la función de conteo de primos π(n) — cuántos primos hay ≤ n. Un criba de Eratóstenes de una pasada (límite 10⁷) cuenta con exactitud, junto con la aproximación n/ln n, la densidad de primos, el intervalo medio y el mayor primo ≤ n; opcionalmente se listan hasta 20 primos cercanos a n. Referencias clásicas: π(100) = 25, π(1000) = 168, π(10⁶) = 78498, π(10⁷) = 664579.

Math & Numbers

Resuelve juegos de suma cero de 2–6 × 2–6 (la matriz de pagos es del jugador fila, el maximizador; el jugador columna paga): primero la prueba de punto de silla (si el máximín de los mínimos de fila iguala el mínimax de los máximos de columna hay equilibrio en estrategias puras y se listan las celdas de silla); si no, se desplaza la matriz para que todas las entradas sean ≥ 1 y se resuelve max Σz s.t. Bz ≤ 1 con un simplex de una fase (base de holguras, regla de Bland): el primal da la estrategia mixta q del columnista y los precios sombra duales son exactamente la solución y del jugador fila; el valor se desplaza de vuelta y se reportan x, q y v, verificando numéricamente ambas garantías (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) y la igualdad minimax. Clásico: piedra-papel… pares [[1,-1],[-1,1]] → valor 0 con mezclas 0.5/0.5.

Math & Numbers

Herramienta de apoyo al cálculo manual de Dijkstra: introduce 1–30 aristas (una por línea: origen, destino, peso) y los nodos origen/destino; no dirigido por defecto, con opción dirigida. Cada iteración registra qué nodo se fija, con qué distancia y cómo cada relajación actualiza la tabla tentativa; los empates se resuelven por el nombre lexicográficamente menor, así el registro coincide con la traza de un libro de texto; los pesos negativos se rechazan y un destino inalcanzable se reporta como respuesta válida. Clásico: A-B 4, A-C 2, B-C 5, B-D 10, C-E 3, D-E 4, D-F 11, E-F 8, de A a F → distancia 13 por A→C→E→F.

Network

Analiza una petición HTTP en crudo o un comando curl, estima el sesgo de reloj cliente-servidor desde la cabecera Date (fórmula de punto medio estilo NTP), inspecciona credenciales con marca de tiempo (X-Amz-Date, x-ms-date, X-Timestamp, JWT iat/nbf), repite con desfases ±skew y compara con ventanas de tolerancia reales (AWS SigV4 ±15 min, Azure, OAuth, leeway JWT).