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Math & Numbers
Berechnet ∫ₐᵇ f(x)dx mit der zusammengesetzten Trapezregel: T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b)), mit Knotentabelle, Integral-Schätzung und optionalem Vergleich mit exaktem Wert und absolutem Fehler; Fehler O(h²) (exakt für lineare Funktionen). Beispiel: ∫₀¹x²dx mit n=4 ergibt 0,34375 gegenüber exakt 1/3, Fehler 0,010417.
Ausführung
Fülle das Formular aus, starte das Tool und prüfe das Ergebnis an einem Ort.
Beispiele
Verwandt
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Leitfaden zur Tool-Nutzung
Der Trapezregel-Integrator berechnet bestimmte Integrale mithilfe der zusammengesetzten Trapezformel über diskreten Stützstellen. Das Tool liefert neben der numerischen Integralschätzung eine vollständige Knotentabelle und vergleicht das Ergebnis bei Bedarf mit der exakten Stammfunktion, um den absoluten Diskretisierungsfehler aufzuzeigen.
Hintergrund
Im Rahmen einer Übungsaufgabe soll die Genauigkeit der Trapezregel an einer Polynomfunktion getestet werden.
Aufgabe
Berechnung von ∫₀¹ x² dx mit n = 4 Intervallen und Ermittlung des absoluten Fehlers.
Verwendung
Tragen Sie fx = x^2, a = 0, b = 1, n = 4 und exactF = x^3/3 in die Eingabefelder ein.
Ergebnis
Das Tool liefert den Näherungswert 0,343750, den exakten Wert 0,333333 und weist einen Fehler von 0,010417 aus.
Hintergrund
Für ein thermisches Modell wird das Integral einer abklingenden Exponentialfunktion benötigt.
Aufgabe
Schnelle Quadratur von e^x auf dem Intervall [0, 1] zur Überprüfung der Fehlerordnung.
Verwendung
Geben Sie fx = e^x, a = 0, b = 1, n = 4 sowie exactF = e^x ein.
Ergebnis
Die Trapezsumme ergibt 1,727222 bei einem absoluten Fehler von etwa 0,008940 gegenüber dem exakten Wert e − 1.
Gängige Standardfunktionen wie sin, cos, exp, ln, sqrt sowie algebraische Ausdrücke in x werden unterstützt.
Das Vorzeichen des Integrals kehrt sich entsprechend den Rechenregeln der Analysis automatisch um.
Die globale Fehlerordnung beträgt O(h²); eine Verdoppelung der Teilintervalle n viertelt den Fehler näherungsweise.
Nein, das Feld ist optional und dient lediglich dem automatischen Vergleich mit dem exakten Integralwert.
Es können bis zu 100.000 Teilintervalle für eine feine Diskretisierung eingegeben werden.