Warum muss die Anzahl der Teilintervalle n eine gerade Zahl sein?

Die Simpson-1/3-Regel approximiert den Integranden paarweise über jeweils zwei benachbarte Intervalle durch Parabeln, weshalb n zwingend durch 2 teilbar sein muss.

Für welche Funktionen liefert die Simpson-Regel ein exaktes Ergebnis?

Aufgrund von Symmetrieeigenschaften ist das Verfahren für alle Polynome bis einschließlich Grad 3 theoretisch exakt.

Welche mathematischen Funktionen können im Integranden verwendet werden?

Gängige Standardausdrücke wie Potenzen, sin, cos, exp, ln und sqrt werden unterstützt.

Was passiert, wenn die Obergrenze b kleiner ist als die Untergrenze a?

Das Vorzeichen der Schrittweite h und damit des gesamten Integrals kehrt sich regelkonform um.

Wie skaliert die Fehlerreduktion bei Erhöhung von n?

Da die globale Fehlerordnung O(h⁴) beträgt, führt eine Halbierung der Schrittweite (Verdopplung von n) näherungsweise zu einer Sechzehntelung des Fehlers.

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Simpson-Regel-Integrator (∫f(x)dx)

Berechnet ∫ₐᵇ f(x)dx mit der zusammengesetzten Simpson-1/3-Regel (n gerade): S = h/3·(f(a) + 4Σungerade Knoten + 2Σgerade innere Knoten + f(b)), Fehler O(h⁴), exakt für Polynome vom Grad ≤ 3. Knotentabelle, Schätzung und optionaler Vergleich mit dem exakten Wert. Beispiele: ∫₀¹x²dx mit n=4 ergibt 0,333333 (exakt!); ∫₀¹e^(−x²)dx (ohne elementare Stammfunktion) mit n=10 ergibt 0,746825.

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2 Beispiele

∫₀¹ x² dx, n = 4 → S = 0,333333, exakt für Quadraten

Die Simpson-Regel integriert jedes quadratische (sogar jedes kubische) Polynom exakt: Mit h = 0,25 liefert die 1/3-Regel genau 1/3 — Fehler null gegenüber der exakten Stammfunktion x³/3.

Composite Simpson's 1/3 rule ∫ from 0 to 1 of f(x) dx, f(x) = x^2, n = 4 subintervals, h = 0.25 i x_i f(x_i) weight 0 0.000000 0.000000 1 1 0.250000 0.062500 4 2 0.500000 0.250000 2 3 0.750000 0.562500 4 4 1.000000 1.000000 1 Simpson estimate: S ≈ 0.333333 Exact F(b) - F(a) = 0.333333, |error| ≈ 0.000000

∫₀¹ e^(−x²) dx, n = 10 → S ≈ 0,746825 (ohne elementare Stammfunktion)

Das Gauß-Integral hat keine elementare Stammfunktion, also hilft Quadratur: Mit n = 10 liefert Simpson 0,746825, übereinstimmend mit √π/2·erf(1) = 0,7468241 auf sechs Dezimalstellen — O(h⁴)-Genauigkeit auf grobem Gitter.

Composite Simpson's 1/3 rule ∫ from 0 to 1 of f(x) dx, f(x) = e^(-x^2), n = 10 subintervals, h = 0.1 Simpson estimate: S ≈ 0.746825 (No elementary antiderivative exists; √π/2·erf(1) ≈ 0.7468241)

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6 Optionen

InhaltHaupteingaben einfügen oder eingeben.2

Zu integrierende f(x)textPflichtIntegrand in x (functions: sin, cos, exp, ln, sqrt, …).Exakte Stammfunktion F(x) (optional)textOptionales FeldExact antiderivative in x; the tool reports F(b) − F(a) and the absolute error. Leave empty to skip.

EinstellungenFormate, Bereiche, Zahlen und Modi anpassen.4

Untergrenze anumberPflichtObergrenze bnumberPflichtMay be less than a (the integral flips sign, as in calculus).Teilintervalle n (gerade)numberPflichtMust be even. h = (b − a)/n; global error is O(h⁴) — halving h divides the error by ~16.DezimalstellennumberOptionales Feld

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