Partialbruchzerlegungs-Rechner (rationale Funktionen)

Partialbruchzerlegungs-Rechner (rationale Funktionen) | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie: Math & Numbers
Eingabetypen: text, number
Ausgabetyp: text
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Der Partialbruchzerlegungs-Rechner zerlegt rationale Funktionen F(x) = N(x)/D(x) automatisch in Partialbrüche mit reellen und komplexen Nennertermen. Bei unechten Brüchen führt das Werkzeug zunächst eine Polynomdivision durch, bestimmt die Nullstellen des Nenners über das Durand–Kerner-Verfahren und löst das resultierende lineare Gleichungssystem inklusive numerischer Restprüfung.

Wann verwenden

Vorbereitung rationaler Funktionen für die symbolische oder numerische Integration in der Analysis.
Rücktransformation von gebrochen-rationalen Übertragungsfunktionen bei der Laplace- oder Z-Transformation in der Regelungstechnik.
Überprüfung von handschriftlichen Polynomdivisionen und Partialbruchansätzen bei mehrfachen oder komplexen Nullstellen.

So funktioniert es

1Eingabe der Koeffizienten von Zähler N(x) (bis Grad 8) und Nenner D(x) (bis Grad 6) als kommagetrennte Liste, beginnend mit dem konstanten Glied.
2Liegt ein unechter Bruch vor (Zählergrad ≥ Nennergrad), spaltet eine Polynomdivision den polynomialen Anteil Q(x) und den echten Restbruch R(x)/D(x) ab.
3Die Nennerwurzeln werden ermittelt, nach Vielfachheiten und komplex konjugierten Paaren gruppiert und in Partialbruchterme der Formen A/(x−r)^j sowie (Bx+C)/((x−α)²+β²) zerlegt.
4Ein exaktes Koeffizientensystem bestimmt die Zählerwerte und validiert das Gesamtergebnis an algebraischen Testpunkten mittels Residuum.

Anwendungsfälle

Gliedweise Integration rationaler Funktionen im Mathematik- und Ingenieurstudium.
Partialbruchzerlegung von Übertragungsfunktionen zur Ermittlung der Impulsantwort in der Systemdynamik.
Zerlegung algebraischer Ausdrücke mit mehrfachen Polstellen in der theoretischen Physik.

Beispiele

1. Echter Bruch mit reellen Nullstellen

Mathematikstudent

Hintergrund

Für ein Übungsblatt zur Integralrechnung muss das Integral von (3x + 5)/(x² + 3x + 2) berechnet werden.

Aufgabe

Der Integrand muss in einfache Standardbrüche zerlegt werden, um Logarithmusintegrale anwenden zu können.

Verwendung

Geben Sie „5,3“ als Zählerkoeffizienten und „2,3,1“ als Nennerkoeffizienten ein.

Zählerkoeffizienten: 5,3; Nennerkoeffizienten: 2,3,1; Dezimalstellen: 4

Ergebnis

Der Rechner liefert die Zerlegung 2/(x + 1) + 1/(x + 2) mit Verifikationsresiduum ≈ 0.

2. Unechter Bruch mit komplexen Nennerwurzeln

Elektrotechnik-Ingenieur

Hintergrund

Eine rationale Übertragungsfunktion mit Zählergrad 3 und Nennergrad 2 soll in den Zeitbereich überführt werden.

Aufgabe

Vor der Partialbruchzerlegung muss der Bruch durch Division reduziert und das quadratische irreduzible Polynom x² + 1 berücksichtigt werden.

Verwendung

Tragen Sie „0,2,0,1“ für den Zähler (x³ + 2x) und „1,0,1“ für den Nenner (x² + 1) ein.

FAQ

In welcher Reihenfolge müssen die Koeffizienten eingegeben werden?

Geben Sie die Koeffizienten aufsteigend nach Potenzen ein, beginnend mit dem konstanten Term (z. B. entspricht „5,3“ dem Polynom 3x + 5).

Was geschieht, wenn der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad ist?

Das Tool führt automatisch eine Polynomdivision durch und gibt das ganzrationale Quotientpolynom plus den zerlegten Restbruch aus.

Wie werden quadratische Nenner ohne reelle Nullstellen behandelt?

Konjugiert-komplexe Wurzelpaare werden zu quadratischen Nennern zusammengefasst und als Term der Form (Bx + C)/((x − α)² + β²) dargestellt.

Welche Maximalgrade werden für Zähler und Nenner unterstützt?

Der Zähler N(x) darf maximal den Grad 8 aufweisen, der Nenner D(x) unterstützt Grade von 1 bis 6.

Was zeigt die Restprüfung am Ende der Ausgabe an?

Sie berechnet die Differenz zwischen Originalfunktion und Partialbruchsumme an algebraischen Testpunkten, um die mathematische Exaktheit zu verifizieren.

Zählerkoeffizienten: 0,2,0,1; Nennerkoeffizienten: 1,0,1; Dezimalstellen: 4

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