Science & Education

Longitudinaler relativistischer Dopplereffekt: Eine sich mit β entfernende Quelle gibt f = f₀·√((1−β)/(1+β)) und Rotverschiebung 1+z = √((1+β)/(1−β)); bei Annäherung kippt das Verhältnis in eine Blauverschiebung. Ausgegeben werden das Frequenzverhältnis, z sowie beobachtete Frequenz und Wellenlänge mit Bande. Das Beispiel verfolgt die Hα-Linie einer mit 0.5c fliehenden Galaxie ins Infrarote — dieselbe Verschiebung wie in Kosmologie und Radialgeschwindigkeits-Durchmusterungen.

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Relativistische kinetische Energie K = (γ−1)mc²: die Gesamtenergie γmc² minus Ruheenergie mc², dazu die klassische ½mv² und das Verhältnis K/K_klassisch — bei 0.8c unterschätzt die klassische Formel bereits um die Hälfte, nahe c divergiert die Lücke. Elektron/Proton/eigene Masse, Geschwindigkeit als β oder m/s, Energien in MeV/GeV: die direkte Antwort auf die Frage, wie viel Energie Beschleunigung kostet.

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Relativistischer Impuls p = γmv (γ = 1/√(1−v²/c²)): Der Faktor γ ersetzt das klassische mv und divergiert für v → c — der Grund, warum kein massives Teilchen auf Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden kann. Ausgegeben werden kg·m/s und das in der Teilchenphysik übliche p·c in eV-Einheiten, neben dem klassischen mv zum Vergleich (ihr Verhältnis ist exakt γ). Elektron/Proton/eigene Masse, Geschwindigkeit als β oder m/s.

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Ruheenergie E₀ = mc²: Die 0.510999 MeV des Elektrons und die 938.272088 MeV des Protons sind die zwei Anker der Massentabelle der Teilchenphysik (Neutron 939.565421 MeV; eigene Masse in kg willkommen). Ausgegeben werden Masse (kg und atomare Masseneinheiten) und Energie (Joule + eV-Einheiten) — so zitieren Collider-Papers Massen: Ein MeV ist eine Masseneinheit.

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Löst die Normierungskonstante A (so dass ∫|ψ|²dx = 1) für die klassischen Familien: unendlicher Kasten ψ = A·sin(nπx/L) gibt A = √(2/L); Gauß A·exp(−x²/(2σ²)) gibt A = (πσ²)^(−1/4); Oszillator-Grundzustand A·exp(−mωx²/(2ℏ)) gibt A = (mω/πℏ)^(1/4); einseitige Exponentialfunktion A·exp(−αx) gibt A = √(2α). Mit Einheitswahrscheinlichkeitsprobe und Momenten ⟨x⟩, σ_x.

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Listet die Spektralserien des Wasserstoffs nach der Rydberg-Formel 1/λ = R∞(1/m² − 1/n²) auf: Lyman (n→1, ultraviolett), Balmer (n→2, überwiegend sichtbar), Paschen/Brackett/Pfund (n→3/4/5, infrarot). Gibt Vakuumwellenlänge und Energie jeder Linie an, benennt die ersten (Hα, Hβ… bei Balmer; α, β… bei den übrigen) mit den Farben der vier sichtbaren Balmer-Linien und ergänzt die Seriengrenze n → ∞.

Date & Time

ISO-8601-Dauern parsen, 8601-2-Erweiterungen prüfen, kalendergenaue Arithmetik, nach realer Länge sortieren und Zeitpunktdifferenzen berechnen.

Math & Numbers

Sucht Primitivwurzeln modulo n: prüft, ob n ∈ {2, 4, p^k, 2p^k} (zyklische multiplikative Gruppe), findet die kleinste Primitivwurzel mit Zertifikat g^(φ/q) ≠ 1 für jede Primzahl q | φ(n), zählt die Wurzeln als φ(φ(n)), listet bis zu 50 davon auf oder prüft, ob die Ordnung eines Kandidaten g gleich φ(n) ist. Bis 10¹².

Math & Numbers

Berechnet die Primzahlfunktion π(n) — wie viele Primzahlen ≤ n liegen. Ein ein Durchlauf Sieb des Eratosthenes (Grenze 10⁷) liefert die exakte Anzahl zusammen mit der Näherung n/ln n, der Primzahldichte, dem durchschnittlichen Abstand und der größten Primzahl ≤ n; optional bis zu 20 nahe Primzahlen. Klassische Richtwerte: π(100) = 25, π(1000) = 168, π(10⁶) = 78498, π(10⁷) = 664579.

Math & Numbers

Löst Nullsummenspiele 2–6 × 2–6 (die Auszahlungsmatrix gehört zum Zeilenspieler, dem Maximierer; der Spaltenspieler zahlt): zuerst der Sattelpunkttest (gleicht das Maximin der Zeilenminima dem Minimax der Spaltenmaxima, existiert ein Gleichgewicht in reinen Strategien und alle Sattelzellen werden aufgelistet); andernfalls wird die Matrix verschoben, sodass alle Einträge ≥ 1 sind, und ein einphasiger Simplex (Schlupfbasis, Bland-Regel) löst max Σz u. d. N. Bz ≤ 1: das Primal liefert die gemischte Strategie q des Spaltenspielers, und die dualen Schattenpreise sind exakt die Lösung y des Zeilenspielers; der Wert wird zurückverschoben, x, q und v werden numerisch verifiziert (xᵀA ≥ v, Aq ≤ v) samt Minimax-Gleichheit. Klassiker: Münzwurf [[1,-1],[-1,1]] → Wert 0 mit 0.5/0.5-Mischungen.

Math & Numbers

Hilfsmittel zum Handrechnen von Dijkstra: Eingabe von 1–30 Kanten (eine pro Zeile: von, bis, Gewicht) sowie Start- und Zielknoten; standardmäßig ungerichtet, mit Option für gerichtet. Jede Iteration protokolliert, welcher Knoten fixiert wird, mit welcher Distanz und wie jede Relaxation die tentiative Tabelle aktualisiert; Gleichstände werden zum lexikographisch kleinsten Namen aufgelöst, sodass das Protokoll einer Lehrbuchspur entspricht; negative Gewichte werden abgelehnt, ein unerreichbares Ziel ist eine gültige Antwort. Klassiker: A-B 4, A-C 2, B-C 5, B-D 10, C-E 3, D-E 4, D-F 11, E-F 8, von A nach F → Distanz 13 über A→C→E→F.

Network

Parst eine rohe HTTP-Anfrage oder einen curl-Befehl, schätzt den Uhr-Skew zwischen Client und Server aus dem Date-Header (NTP-artige Mittelpunktformel), prüft zeitstempeltragende Credentials (X-Amz-Date, x-ms-date, X-Timestamp, JWT iat/nbf), wiederholt mit ±Skew-Offsets und gleicht mit realen Toleranzfenstern ab (AWS SigV4 ±15 Min, Azure, OAuth, JWT-Leeway).