Science & Education

Totalreflexion: Wenn Licht vom Medium n₁ ins dünnere n₂ übergeht (n₁ > n₂), markiert der Grenzwinkel θ_c = arcsin(n₂/n₁) die Schwelle, jenseits derer es keine Brechung mehr gibt und die Grenzfläche zum perfekten Spiegel wird. Das Werkzeug liefert zusätzlich den Brewster-(Polarisations-)Winkel arctan(n₂/n₁). Klassiker inklusive: Glas → Luft 41.810315° und Diamant → Luft 24.439744° — das enge Fenster, das Diamanten funkeln lässt.

Science & Education

Bohr-Modell des Wasserstoffatoms: r_n = n²a₀ (Bohrscher Radius a₀ = 0.052918 nm), E_n = −13.605693/n² eV, v_n = αc/n und Umlaufperiode T = 2πr/v. Mit optionalem Zielniveau m folgen Übergangsenergie und Wellenlänge des emittierten/absorbierten Photons samt Serie (Lyman/Balmer/Paschen/Brackett/Pfund/Humphreys) — z. B. ist 3→2 die berühmte rote Hα-Linie bei 656.1 nm.

Data Visualization

Füge eine Bestell- oder Ereignis-CSV ein und erhalte den Growth-Stack auf einer Seite: Retention-Dreieck mit Heatmap, RFM-Quintilen auf die zehn Standard-Lebenszyklussegmente und ein Trichter in strenger Reihenfolge.

Science & Education

Berechnet die Compton-Verschiebung Δλ = (h/m_e·c)(1 − cos θ): Aus der einfallenden Röntgenwellenlänge (pm/Å/nm) und dem Streuwinkel θ (0–180°) ergeben sich die Elektronen-Compton-Wellenlänge λ_C, die Verschiebung, Wellenlänge und Energie des gestreuten Photons, der auf den Rückstoßelektron übertragene Energieanteil und der Rückstoßwinkel cot φ = (1 + E/m_e·c²)·tan(θ/2). Die Fälle θ = 0° (Transmission ohne Verschiebung) und θ = 180° (Rückstreuung mit maximaler Verschiebung 2λ_C, Elektron nach vorn) werden gesondert behandelt.

Media

Verwandelt ein Field-Recording in eine einzige nahtlose Schleife für Games, Meditations-Apps oder Videobettes — Seam in leisen Regionen, langer Equal-Power-Crossfade, optionaler Highpass.

Media

Wendet EDM-artiges tempo-synchrones Pump-Ducking auf jedes Audio an — ohne Kick-Drum-Sidechain-Datei, als Volume-Automation im Stil von LFO Tool / Kickstart.

Math & Numbers

Berechnet die Carmichael-Funktion λ(n) — den Exponenten der multiplikativen Gruppe (Z/nZ)*, also das kleinste k mit a^k ≡ 1 (mod n) für jedes zu n teilerfremde a. Aufgebaut aus der Primfaktorzerlegung (λ(2)=1, λ(4)=2, λ(2^k)=2^(k−2) für k ≥ 3, λ(p^k)=φ(p^k) bei ungeraden Potenzen, dann kgV), zusammen mit φ(n), der Existenz einer Primitivwurzel und dem Korselt-Kriterium zur Erkennung von Carmichael-Zahlen. Klassiker: λ(561) = 80 (561 ist die kleinste Carmichael-Zahl) und λ(8) = 2 < φ(8) = 4.

Math & Numbers

Löst das System x ≡ rᵢ (mod mᵢ) (2–20 Kongruenzen) mit dem verallgemeinerten chinesischen Restsatz durch paarweise Verschmelzung: Bei paarweise teilerfremden Moduln ist der kombinierte Modul das Produkt, bei nicht teilerfremden, aber verträglichen das kgV; ein unverträgliches System wird klar als unlösbar gemeldet. Jede Kongruenz wird gegen die Endlösung verifiziert. Klassiker: x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) → x = 23 (mod 105).

Math & Numbers

Löst Zuordnungsprobleme 2–8 × 2–8 mit dem Lehrbuch-Ungarischen-Algorithmus (rechteckige Matrizen werden mit Dummy-Zeilen/-Spalten zu Kosten null aufgefüllt): Zeilen- und Spaltenreduktion, maximales Matching der Nullen über alternierende Wege, sonst minimale Nullen-Überdeckung mit Geraden nach König — kleinsten ungedeckten Wert abziehen, an Doppelschnittpunkten addieren; Maximierungsprobleme werden intern auf der negierten Matrix gelöst. Jede Runde wird protokolliert; die optimale Zuordnung und die Gesamtkosten werden per Einsetzen verifiziert. Klassiker: [[9,2,7],[6,4,3],[5,8,1]] min → Gesamtkosten 9.

Math & Numbers

Erzeugt Permutationen, Kombinationen und Teilmengen einer Multimenge, automatisch dedupliziert und in lexikographischer Ordnung: Permutationen über next_permutation mit exakter Anzahl n!/Π(mᵢ!); Kombinationen als alle verschiedenen k-Teilmengen der Multimenge, gezählt als Koeffizient von x^k in Π(1+x+…+x^mᵢ) (C(n,k) bei lauter verschiedenen Elementen); Teilmengen mit Anzahl Π(mᵢ+1) (2ⁿ bei lauter verschiedenen), inklusive leerer Menge. Bis zu 12 Elemente, Anzeige auf 200 Einträge begrenzt, die Anzahl ist stets exakt; im Kombinationsmodus gilt 1 ≤ k ≤ n. Klassiker: Permutationen von [A, A, B] → 3!/2! = 3 (AAB, ABA, BAA); Teilmengen von [A, A, B] → (2+1)(1+1) = 6.

Math & Numbers

Analyse von 2–20 Vorgängen mit der Critical-Path-Method (einer pro Zeile: Name, Dauer, Vorgänger): topologische Sortierung, Vorwärtspassung für ES/EF, Rückwärtspassung für LS/LF und Gesamt Puffer; Vorgänge mit null Puffer bilden die kritischen Pfade — es werden alle aufgelistet, nicht nur der erste. Unbekannte Vorgänger, Doppelnamen und Zyklen werden abgelehnt. Klassiker: A(4), B(3, A), C(2, A), D(5, B), E(4, C), F(2, D E) → Projektdauer 14, kritischer Pfad A→B→D→F, Puffer von C/E = 2.

Math & Numbers

Vereinfacht Boolesche Funktionen zur minimalen DNF: Ausdruck eingeben (A–D, + ODER, · UND, ' NICHT, ≤ 4 Variablen) oder die Minterm-Liste Σm; der Quine-McCluskey-Algorithmus liefert die Primimplikanten, nimmt die wesentlichen dazu und ergänzt eine exakte Minimalüberdeckung; ausgegeben werden die minimale DNF, das Karnaugh-Diagramm in Gray-Code (2–4 Variablen), die kanonische Form Σm und eine Verifikation über alle Belegungen. Klassiker: AB + A'B → B; Σm(0,1,2,4,5,6) (3 Variablen) → B' + C'.