Z平面（零极点图）
幅频响应 |H(e^jw)|
冲激响应 h[n]
理解Z变换
什么是Z变换？
Z变换将离散时间信号x[n]转换为复频域表示X(z)。其定义为X(z) = sum(x[n] * z^(-n))，n从负无穷到正无穷。收敛域(ROC)是使级数收敛的z值集合。对于因果系统，ROC是以原点为中心、半径等于最外层极点模值的圆的外部区域。
极点、零点与Z平面
线性时不变(LTI)系统的传递函数H(z)可以表示为z的多项式之比。分子的根为零点（H(z) = 0处），分母的根为极点（H(z)发散处）。在Z平面上，极点用x标记，零点用o标记。它们的位置决定了系统的频率响应、稳定性和滤波特性。靠近单位圆的极点在频率响应中产生峰值，靠近单位圆的零点产生凹陷。
单位圆与频率响应
在单位圆上（z = e^(jw)）求H(z)的值得到离散时间傅里叶变换(DTFT)，即系统的频率响应。角度w（omega）范围从0到2*pi，对应归一化频率。当w从0增加时，我们逆时针遍历单位圆。点z = 1（w = 0）代表直流，z = -1（w = pi）代表奈奎斯特频率。幅值|H(e^jw)|显示系统如何放大或衰减不同频率。
稳定性判据（BIBO）
当且仅当传递函数的所有极点严格位于单位圆内（所有极点满足|p| < 1）时，系统是有界输入有界输出(BIBO)稳定的。如果任何极点在单位圆上或圆外，系统不稳定，冲激响应会无限增长。统计面板中的稳定性指示器会在您移动Z平面上的极点时实时检查此判据。共轭对确保实值冲激响应。
传递函数
H(z) = K * Product(z - z_i) / Product(z - p_j)
其中K是增益，z_i是零点，p_j是极点。通过将z = e^(jw)代入并在w从0到2*pi的范围内求值，即可获得频率响应。每个频率处的幅值为|H(e^jw)| = K * product(|e^jw - z_i|) / product(|e^jw - p_j|)。