Plano Z (Diagrama de polos y ceros)
Respuesta en magnitud |H(e^jw)|
Respuesta al impulso h[n]
Comprendiendo la Transformada Z
Que es la Transformada Z?
La Transformada Z convierte una senal en tiempo discreto x[n] en una representacion en el dominio de la frecuencia compleja X(z). Se define como X(z) = sum(x[n] * z^(-n)) para n desde menos infinito hasta mas infinito. La region de convergencia (ROC) es el conjunto de valores z para los cuales la serie converge. Para sistemas causales, la ROC es el exterior de un circulo centrado en el origen cuyo radio es igual a la magnitud del polo mas externo.
Polos, ceros y el plano Z
La funcion de transferencia H(z) de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) se puede expresar como un ratio de polinomios en z. Las raices del numerador son ceros (donde H(z) = 0), y las raices del denominador son polos (donde H(z) diverge). En el plano Z, los polos se marcan con x y los ceros con o. Su colocacion determina la respuesta en frecuencia, la estabilidad y las caracteristicas del filtro del sistema.
Circulo unitario y respuesta en frecuencia
Evaluar H(z) en el circulo unitario (z = e^(jw)) produce la Transformada de Fourier en Tiempo Discreto (DTFT), que es la respuesta en frecuencia del sistema. El angulo w (omega) varia de 0 a 2*pi y corresponde a la frecuencia normalizada. El punto z = 1 (w = 0) representa DC, y z = -1 (w = pi) representa la frecuencia de Nyquist.
Criterio de estabilidad (BIBO)
Un sistema es estable Bounded-Input Bounded-Output (BIBO) si y solo si todos los polos de su funcion de transferencia se encuentran estrictamente dentro del circulo unitario (|p| < 1 para todos los polos). Si algun polo esta sobre o fuera del circulo unitario, el sistema es inestable y la respuesta al impulso crece sin limite.
Funcion de transferencia
H(z) = K * Product(z - z_i) / Product(z - p_j)
Donde K es la ganancia, z_i son los ceros y p_j son los polos. La respuesta en frecuencia se obtiene sustituyendo z = e^(jw) y evaluando en w de 0 a 2*pi. La magnitud en cada frecuencia es |H(e^jw)| = K * product(|e^jw - z_i|) / product(|e^jw - p_j|).