Z-плоскость (Диаграмма полюсов и нулей)
Амплитудная характеристика |H(e^jw)|
Импульсная характеристика h[n]
Понимание Z-преобразования
Что такое Z-преобразование?
Z-преобразование преобразует дискретный сигнал x[n] в комплексное частотное представление X(z). Оно определяется как X(z) = sum(x[n] * z^(-n)) для n от минус бесконечности до плюс бесконечности. Область сходимости (ROC) — это множество значений z, при которых ряд сходится. Для причинных систем ROC является внешней частью круга с центром в начале координат, радиус которого равен модулю самого удалённого полюса.
Полюсы, нули и Z-плоскость
Передаточная функция H(z) линейной стационарной системы (LTI) может быть выражена как отношение полиномов от z. Корни числителя — это нули (где H(z) = 0), а корни знаменателя — полюсы (где H(z) расходится). На Z-плоскости полюсы отмечены символом x, а нули — o. Их расположение определяет частотную характеристику, устойчивость и фильтрующие свойства системы.
Единичная окружность и частотная характеристика
Вычисление H(z) на единичной окружности (z = e^(jw)) даёт дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое представляет собой частотную характеристику системы. Угол w (омега) изменяется от 0 до 2*pi и соответствует нормализованной частоте. Точка z = 1 (w = 0) представляет постоянный ток, а z = -1 (w = pi) — частоту Найквиста.
Критерий устойчивости (BIBO)
Система устойчива по критерию «ограниченный вход — ограниченный выход» (BIBO) тогда и только тогда, когда все полюсы её передаточной функции находятся строго внутри единичной окружности (|p| < 1 для всех полюсов). Если хотя бы один полюс находится на единичной окружности или за её пределами, система неустойчива, и импульсная характеристика неограниченно возрастает.
Передаточная функция
H(z) = K * Product(z - z_i) / Product(z - p_j)
Где K — коэффициент усиления, z_i — нули, а p_j — полюсы. Частотная характеристика получается подстановкой z = e^(jw) и вычислением для w от 0 до 2*pi. Амплитуда на каждой частоте: |H(e^jw)| = K * product(|e^jw - z_i|) / product(|e^jw - p_j|).