Plan Z (Diagramme poles-zeros)
Reponse en magnitude |H(e^jw)|
Reponse impulsionnelle h[n]
Comprendre la Transformee en Z
Qu'est-ce que la Transformee en Z?
La Transformee en Z convertit un signal en temps discret x[n] en une representation dans le domaine frequentiel complexe X(z). Elle est definie comme X(z) = sum(x[n] * z^(-n)) pour n allant de moins l'infini a plus l'infini. La region de convergence (ROC) est l'ensemble des valeurs z pour lesquelles la serie converge. Pour les systemes causaux, la ROC est l'exterieur d'un cercle centre a l'origine dont le rayon est egal a la magnitude du pole le plus externe.
Poles, zeros et le plan Z
La fonction de transfert H(z) d'un systeme lineaire invariant dans le temps (LTI) peut etre exprimee comme un ratio de polynomes en z. Les racines du numerateur sont les zeros (ou H(z) = 0), et les racines du denominateur sont les poles (ou H(z) diverge). Sur le plan Z, les poles sont marques par x et les zeros par o. Leur placement determine la reponse en frequence, la stabilite et les caracteristiques de filtrage du systeme.
Cercle unitaire et reponse en frequence
Evaluer H(z) sur le cercle unitaire (z = e^(jw)) donne la Transformee de Fourier a Temps Discret (DTFT), qui est la reponse en frequence du systeme. L'angle w (omega) varie de 0 a 2*pi et correspond a la frequence normalisee. Le point z = 1 (w = 0) represente le continu, et z = -1 (w = pi) represente la frequence de Nyquist.
Critere de stabilite (BIBO)
Un systeme est stable a entree bornee et sortie bornee (BIBO) si et seulement si tous les poles de sa fonction de transfert se trouvent strictement a l'interieur du cercle unitaire (|p| < 1 pour tous les poles). Si un pole se trouve sur ou a l'exterieur du cercle unitaire, le systeme est instable et la reponse impulsionnelle croit sans limite.
Fonction de transfert
H(z) = K * Product(z - z_i) / Product(z - p_j)
Ou K est le gain, z_i sont les zeros et p_j sont les poles. La reponse en frequence est obtenue en substituant z = e^(jw) et en evaluant sur w de 0 a 2*pi. La magnitude a chaque frequence est |H(e^jw)| = K * product(|e^jw - z_i|) / product(|e^jw - p_j|).