SIR 时间序列——人口随天数变化
相图（S vs I）
每日新增感染
交互式 SIR 房室模型——ODE 求解器，R₀ 参数、相图与实时 S/I/R 曲线
Kermack-McKendrick（1927）SIR 模型将人口 N 分为易感者 S、感染者 I 和康复者 R。控制方程：dS/dt = −βSI/N，dI/dt = βSI/N − γI，dR/dt = γI。基本再生数 R₀ = β/γ 决定疫情是否爆发。
R₀ = β/γ 是一个感染者在完全易感人群中引起的预期继发感染数。R₀ > 1 → 指数增长（流行）；R₀ < 1 → 疾病消退。当免疫比例超过 1 − 1/R₀ 时实现群体免疫。
当康复比例 R/N 超过 1 − 1/R₀ 时，每个感染者平均引发不到一个新感染，疫情趋于消退。R₀ = 2.5 时至少需要 60% 免疫。疫苗接种的目标是安全地达到该阈值。
β = R₀ × γ。编码接触频率和传播概率。社交距离、口罩和通风可降低 β，使 R₀ 低于流行阈值。
γ = 1/D，其中 D 为平均感染期。COVID-19 的 D ≈ 10 天 → γ ≈ 0.1/天。季节性流感 D ≈ 5 天 → γ ≈ 0.2/天。医疗可提高 γ。
麻疹：12-18。天花：3.5-6。COVID-19（原始株）：2.5-3.5。1918 流感：2-3。季节性流感：1.3-1.8。埃博拉：1.5-2.5。
Kermack 和 McKendrick 于 1927 年为研究孟买瘟疫而提出 SIR 模型。其阈值定理表明，流行病不一定会感染所有人——当易感者降至临界水平以下时疫情结束。
1918 西班牙流感（H1N1）：约 5000 万死亡，R₀≈2-3。1957 亚洲流感：约 200 万。1968 香港流感：约 100 万。2009 H1N1 猪流感：约 28.4 万。2020 COVID-19：超过 700 万确诊死亡。
SIR 及其扩展（SEIR、SIRD、SEIRS、年龄结构）是 CDC、WHO 和帝国理工学院等机构流行病预测的基础。它们指导疫苗策略、社交距离政策和医院容量规划。
增加潜伏者（E）隔室表示潜伏期：S → E → I → R。转化率 σ = 1/(潜伏天数) 控制 E→I 转化。COVID-19 的 σ ≈ 1/5.2 ≈ 0.19/天。
增加死亡隔室：感染者以速率 γ 康复或以速率 μ 死亡。病死率 CFR = μ/(γ+μ)。IFR 则考虑无症状感染者。
为人群比例 p 接种可有效缩减易感者池。若 p > 1 − 1/R₀，群体免疫可阻止流行传播。SIR 模型揭示了为何快速、大规模接种至关重要。