Serie temporal SIR — Población vs Días
Retrato de fase (S vs I)
Nuevas infecciones diarias
Modelo compartimental SIR interactivo — solver ODE con R₀, retrato de fase y curvas S/I/R en tiempo real
El modelo SIR de Kermack-McKendrick (1927) divide la población N en Susceptible S, Infectado I y Recuperado R. EDOs: dS/dt = −βSI/N, dI/dt = βSI/N − γI, dR/dt = γI. El número reproductivo básico R₀ = β/γ determina si ocurre una epidemia.
R₀ = β/γ es el número esperado de infecciones secundarias causadas por un caso en una población totalmente susceptible. R₀ > 1 → crecimiento exponencial; R₀ < 1 → la enfermedad desaparece.
Cuando la fracción recuperada R/N excede 1 − 1/R₀, cada infectado causa menos de una nueva infección y la epidemia decrece. Para R₀ = 2.5 se necesita al menos 60% inmune.
β = R₀ × γ. Codifica la frecuencia de contacto y probabilidad de transmisión. El distanciamiento y las mascarillas reducen β.
γ = 1/D donde D es el período infeccioso medio. COVID-19: γ ≈ 0.1/día. Gripe estacional: γ ≈ 0.2/día.
Sarampión: 12-18. Viruela: 3.5-6. COVID-19: 2.5-3.5. Gripe 1918: 2-3. Gripe estacional: 1.3-1.8. Ébola: 1.5-2.5.
Kermack y McKendrick formularon el modelo SIR en 1927 para estudiar la peste en Bombay. Su teorema umbral mostró que una epidemia no necesita infectar a todos.
Gripe española 1918: ~50M muertes. Gripe asiática 1957: ~2M. Gripe de Hong Kong 1968: ~1M. Gripe A 2009: ~284K. COVID-19 2020: 7M+ muertes confirmadas.
SIR y sus extensiones son la base de la predicción epidémica en la OMS, CDC e Imperial College. Guían estrategia de vacunación y planificación hospitalaria.
Añade compartimento Expuesto (E) para el período de incubación: S → E → I → R. Tasa σ = 1/(días incubación). COVID-19: σ ≈ 0.19/día.
Añade compartimento Muertes: infectados se recuperan a tasa γ o mueren a tasa μ. Tasa de letalidad CFR = μ/(γ+μ).
Vacunar a una fracción p reduce el grupo susceptible. Si p > 1 − 1/R₀, la inmunidad de rebaño previene la propagación.