Временной ряд SIR — Население vs Дни
Фазовый портрет (S vs I)
Ежедневные новые заражения
Интерактивная SIR-компартментная модель — ODE-решатель с R₀, фазовым портретом и кривыми S/I/R в реальном времени
Модель SIR Кермака-Маккендрика (1927) делит население N на Восприимчивых S, Инфицированных I и Выздоровевших R. ОДУ: dS/dt = −βSI/N, dI/dt = βSI/N − γI, dR/dt = γI. Базовое репродуктивное число R₀ = β/γ определяет возникновение эпидемии.
R₀ = β/γ — ожидаемое число вторичных заражений от одного случая. R₀ > 1 → экспоненциальный рост; R₀ < 1 → угасание.
Когда доля выздоровевших R/N превышает 1 − 1/R₀, каждый инфицированный вызывает менее одного нового заражения. При R₀ = 2.5 нужно не менее 60% иммунных.
β = R₀ × γ. Кодирует частоту контактов и вероятность передачи. Дистанцирование и маски снижают β.
γ = 1/D, D — средний инфекционный период. COVID-19: γ ≈ 0.1/день. Сезонный грипп: γ ≈ 0.2/день.
Корь: 12-18. Оспа: 3.5-6. COVID-19: 2.5-3.5. Грипп 1918: 2-3. Сезонный грипп: 1.3-1.8. Эбола: 1.5-2.5.
Кермак и Маккендрик создали модель SIR в 1927 г. для изучения чумы в Бомбее. Их пороговая теорема показала, что эпидемия не обязана заражать всех.
Испанский грипп 1918: ~50 млн смертей. Азиатский грипп 1957: ~2 млн. Гонконгский грипп 1968: ~1 млн. Свиной грипп 2009: ~284 тыс. COVID-19 2020: 7+ млн подтверждённых смертей.
SIR и расширения — основа эпидпрогнозирования в ВОЗ, CDC и Imperial College. Они ведут стратегию вакцинации и планирование мощностей больниц.
Добавляет компартмент Инкубационных (E): S → E → I → R. Скорость σ = 1/(дни инкубации). COVID-19: σ ≈ 0.19/день.
Добавляет Deaths: инфицированные выздоравливают со скоростью γ или умирают со скоростью μ. Летальность CFR = μ/(γ+μ).
Вакцинация доли p сокращает группу восприимчивых. Если p > 1 − 1/R₀, коллективный иммунитет предотвращает распространение.