Série temporelle SIR — Population vs Jours
Portrait de phase (S vs I)
Nouvelles infections quotidiennes
Modèle compartimental SIR interactif — solveur ODE avec R₀, portrait de phase et courbes S/I/R en temps réel
Le modèle SIR de Kermack-McKendrick (1927) divise la population N en Sensible S, Infecté I et Rétabli R. Équations : dS/dt = −βSI/N, dI/dt = βSI/N − γI, dR/dt = γI. Le nombre de reproduction de base R₀ = β/γ détermine l'occurrence d'une épidémie.
R₀ = β/γ est le nombre attendu d'infections secondaires par cas dans une population totalement sensible. R₀ > 1 → croissance exponentielle ; R₀ < 1 → extinction.
Quand la fraction rétablie R/N dépasse 1 − 1/R₀, chaque infecté cause moins d'une nouvelle infection et l'épidémie décline. Pour R₀ = 2.5, il faut au moins 60% d'immuns.
β = R₀ × γ. Encode la fréquence de contact et la probabilité de transmission. La distanciation et les masques réduisent β.
γ = 1/D où D est la durée infectieuse moyenne. COVID-19 : γ ≈ 0.1/jour. Grippe saisonnière : γ ≈ 0.2/jour.
Rougeole : 12-18. Variole : 3.5-6. COVID-19 : 2.5-3.5. Grippe 1918 : 2-3. Grippe saisonnière : 1.3-1.8. Ébola : 1.5-2.5.
Kermack et McKendrick ont formulé le modèle SIR en 1927 pour étudier la peste à Bombay. Leur théorème de seuil montra qu'une épidémie n'a pas besoin d'infecter tout le monde.
Grippe espagnole 1918 : ~50M morts. Grippe asiatique 1957 : ~2M. Grippe de Hong Kong 1968 : ~1M. Grippe A 2009 : ~284K. COVID-19 2020 : 7M+ décès confirmés.
Le SIR et ses extensions sont la base des prévisions épidémiques à l'OMS, au CDC et à l'Imperial College. Ils guident la vaccination et la planification hospitalière.
Ajoute un compartiment Exposé (E) pour l'incubation : S → E → I → R. Taux σ = 1/(jours incubation). COVID-19 : σ ≈ 0.19/jour.
Ajoute un compartiment Décès : les infectés guérissent au taux γ ou meurent au taux μ. Taux de létalité CFR = μ/(γ+μ).
Vacciner une fraction p réduit le groupe sensible. Si p > 1 − 1/R₀, l'immunité collective empêche la propagation.