探索分形空间填充希尔伯特曲线，可调节阶数、颜色编码遍历顺序，并实时映射坐标
空间填充曲线是一种连续满射映射 f: [0,1] → [0,1]²。大卫·希尔伯特于1891年描述了他的曲线，作为一种填充整个正方形的几何构造。希尔伯特曲线递归定义：1阶时曲线以U形访问2×2网格。每升高一阶，前一网格的每个单元被旋转/镜像的U形副本替换，分辨率翻四倍。n阶时曲线恰好访问所有 2ⁿ × 2ⁿ = 4ⁿ 个单元。关键性质：(1) 连续性 — 曲线是无跳跃的连续路径。(2) 自相似性 — 每个象限是整体的旋转副本。(3) 局部性 — 1D线上相近的点在2D中也倾向于相近，适合空间索引。(4) 不可微性 — 极限曲线处处无切线。
希尔伯特曲线通过Lindenmayer式替换规则构建。1阶时，曲线按左下→左上→右上→右下的顺序追踪四个象限（U形）。从n阶到n+1阶，每个单元细分为四个子单元，每个象限中的子曲线旋转90°或镜像，使入口和出口正确连接。算法使用两个函数：xy2d(x, y, n) 将2D网格坐标转为曲线上的一维距离（0到4ⁿ−1），d2xy(d, n) 将一维距离转回2D坐标。两者均在O(n)时间内运行。下方图表是采样局部性散点图：它从不同曲线间距中抽样若干单元对，比较1D曲线距离|d₁−d₂|与实际2D欧几里得距离。点越集中在左下区域，说明局部性保持越强。
空间索引：数据库（Google S2几何库、PostgreSQL）使用希尔伯特曲线将2D/3D坐标映射为1D键，实现高效范围查询。图像处理：希尔伯特曲线扫描顺序将2D图像转为保持空间局部性的1D序列，改善压缩和缓存性能。数据可视化：将高维数据映射到希尔伯特曲线上可保留聚类结构——用于火焰图和基因组浏览器。数值计算：空间填充曲线用于并行计算中的区域划分，保证相邻性。计算机图形学：纹理映射和细节层次选择受益于曲线的局部性。地理空间：Uber的H3六边形网格内部使用希尔伯特曲线进行单元排序。数学：希尔伯特曲线是[0,1]和[0,1]²具有相同势的构造性证明（康托尔1877年的惊人结果）。
使用阶数滑块调节递归深度（1-7）。1阶时看到一个简单的U形访问4个单元；7阶时曲线访问16,384个单元。在曲线视图（彩色线条）、热力图（按遍历顺序着色的单元）或叠加模式间切换。颜色梯度从蓝色（起点，d=0）到红色（终点，d=4ⁿ−1）显示遍历顺序。输入x,y坐标后点击查找，高亮该单元并显示其在曲线上的位置d；也可以直接点击画布查找单元。使用播放按钮渐进式绘制曲线，观察U形模式如何复制和连接。底部图表显示采样后的局部性保持：二维中相近的单元通常对应较小的曲线距离，但这种关系并不是精确线性的。