Explore a curva fractal de preenchimento de espaço de Hilbert com ordem ajustável, percurso colorido e mapeamento de coordenadas
Uma curva de preenchimento de espaço é uma aplicação sobrejetiva contínua f: [0,1] → [0,1]². David Hilbert descreveu sua curva em 1891. A curva é definida recursivamente: na ordem 1, visita uma grade 2×2 em forma de U. A cada ordem superior, cada célula é substituída por uma cópia rotacionada/refletida do padrão U. Na ordem n, a curva visita todas as 2ⁿ × 2ⁿ = 4ⁿ células exatamente uma vez. Propriedades: (1) Continuidade — caminho contínuo sem saltos. (2) Autossimilaridade — cada quadrante é uma cópia rotacionada do todo. (3) Localidade — pontos próximos em 1D tendem a estar próximos em 2D. (4) Não-diferenciabilidade — a curva limite não tem tangente em nenhum ponto.
A curva de Hilbert é construída por regras de substituição. Na ordem 1, percorre quatro quadrantes em forma de U. O algoritmo usa duas funções: xy2d(x, y, n) converte coordenadas 2D em distância 1D, e d2xy(d, n) converte distância 1D em coordenadas 2D. Ambas executam em O(n). O gráfico inferior mostra a preservação de localidade: para cada par de células, plota a distância de curva |d₁−d₂| contra a distância euclidiana 2D.
Indexação espacial: bancos de dados usam curvas de Hilbert para mapear coordenadas 2D/3D em chaves 1D. Processamento de imagens: varredura por Hilbert preserva localidade espacial. Visualização de dados: mapeamento em curvas de Hilbert preserva clusters. Matemática: prova construtiva de que [0,1] e [0,1]² têm mesma cardinalidade.
Use o controle deslizante Ordem (1-7). Alterne entre Curva, Mapa de calor ou Ambos. O gradiente de azul a vermelho mostra a ordem de percurso. Insira coordenadas x,y e clique em Buscar. Clique diretamente no canvas. Use Reproduzir para animar o desenho.