Explora la curva de Hilbert fractal que rellena el espacio con orden ajustable, recorrido codificado por colores y mapeo de coordenadas
Una curva de relleno de espacio es una aplicación sobreyectiva continua f: [0,1] → [0,1]². David Hilbert describió su curva en 1891 como una construcción geométrica que rellena un cuadrado entero. La curva se define recursivamente: en orden 1, la curva visita una cuadrícula 2×2 en forma de U. En cada orden superior, cada celda se reemplaza por una copia rotada/reflejada del patrón U, cuadruplicando la resolución. En orden n, la curva visita todas las 2ⁿ × 2ⁿ = 4ⁿ celdas exactamente una vez. Propiedades clave: (1) Continuidad — camino continuo sin saltos. (2) Autosimilitud — cada cuadrante es una copia rotada del todo. (3) Localidad — puntos cercanos en 1D tienden a estar cerca en 2D. (4) No diferenciabilidad — la curva límite no tiene tangente en ningún punto.
La curva de Hilbert se construye mediante reglas de reemplazo estilo Lindenmayer. En orden 1, la curva recorre cuatro cuadrantes en orden: inferior-izquierda → superior-izquierda → superior-derecha → inferior-derecha (forma de U). Para pasar del orden n al n+1, cada celda se subdivide en cuatro subceldas. El algoritmo usa dos funciones: xy2d(x, y, n) convierte coordenadas 2D a distancia 1D (0 a 4ⁿ−1), y d2xy(d, n) convierte distancia 1D a coordenadas 2D. Ambas se ejecutan en O(n). El gráfico inferior muestra la preservación de localidad: para cada par de celdas, grafica la distancia de curva |d₁−d₂| contra la distancia euclidiana 2D.
Indexación espacial: bases de datos (S2 de Google, PostgreSQL) usan curvas de Hilbert para mapear coordenadas 2D/3D a claves 1D. Procesamiento de imágenes: el escaneo por curva de Hilbert preserva localidad espacial mejor que el escaneo ráster. Visualización de datos: mapear datos de alta dimensión a curvas de Hilbert preserva clusters. Métodos numéricos: las curvas de relleno de espacio particionan dominios para computación paralela. Matemáticas: las curvas de Hilbert son una prueba constructiva de que [0,1] y [0,1]² tienen la misma cardinalidad.
Use el control deslizante de Orden para cambiar la profundidad de recursión (1-7). Alterne entre vista de Curva, Mapa de calor o Ambos. El gradiente de color de azul (inicio) a rojo (fin) muestra el orden de recorrido. Ingrese coordenadas x,y y haga clic en Buscar para resaltar esa celda. También puede hacer clic directamente en el lienzo. Use Reproducir para animar el dibujo de la curva paso a paso.