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在 pH、[H+]、pOH、[OH-] 之间互相换算，或由强酸/强碱浓度计算 pH，以及计算稀释后的 pH。基于 Kw = 1×10⁻¹⁴（25 °C）。

使用 Henderson-Hasselbalch 方程计算缓冲溶液的 pH 值，或求出达到目标 pH 所需的酸碱比例。内置常用缓冲体系（醋酸盐、磷酸盐、Tris、HEPES 等）。

根据平均事件率计算泊松分布的精确、累计和上尾概率

将正态百分位、尾部面积或中心面积转换为标准正态 Z 分数

计算不重复排列、允许重复排列和环形排列，并可显示公式与步骤

计算各种几何图形的周长

将正态分布绘制为 SVG 钟形曲线，可标注 z 分数、区间或尾部概率阴影，并叠加 68/95/99.7 标准差带。

用 Newton-Raphson 迭代 x_{k+1} = x_k − f(x_k)/f'(x_k) 求 f(x) = 0 的根：导数可给定解析表达式（留空则用中心差分数值导数），输出逐步迭代表（x_k 与 f(x_k)）、收敛判据（|f| < 容差或 |Δx| < 容差·max(1,|x|)）、迭代次数与最终 |f(root)|。经典例：x²−2 从 x₀=1 出发 4 步收敛到 √2 ≈ 1.4142135624；cos(x)−x 收敛到 Dottie 数 0.7390851332。导数为零、步长发散或超出迭代上限会明确报告。

在指定点用三种有限差分近似 f′(x₀)：前向 (f(x₀+h)−f(x₀))/h、后向 (f(x₀−h) 差分) 与中心 (f(x₀+h)−f(x₀−h))/(2h)，另给中心二阶差分 f″。可选填精确导数以显示各方法绝对误差，直观对比 O(h) 与 O(h²) 截断误差。示例：f=x²、x₀=1、h=0.1 时前向 2.1、后向 1.9、中心恰好 2.0。

用复合 Simpson 1/3 法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx（n 为偶数）：S = h/3·(f(a) + 4Σ奇节点 + 2Σ偶内节点 + f(b))，误差 O(h⁴)，对三次及以下多项式精确。逐节点数值表 + 积分估计 + 可选精确值/误差对比。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.333333（精确！）；∫₀¹e^(−x²)dx（无初等原函数）取 n=10 得 0.746825。

用复合梯形法计算 ∫ₐᵇ f(x)dx：T = h/2·(f(a) + 2Σf(xᵢ) + f(b))，逐节点给出数值表、积分估计与可选的精确值/绝对误差对比，误差为 O(h²)（对线性函数精确）。示例：∫₀¹x²dx 取 n=4 得 0.34375，与精确值 1/3 相差 0.010417。

用扩展欧几里得算法求 a⁻¹ mod m：给出 Bézout 系数 a·x + m·y = gcd(a, m) 与完整的前向系数表（每行满足 r = a·s + m·t），并用 a × a⁻¹ ≡ 1 (mod m) 回代验证。支持 RSA 量级的大数（可达 10⁵¹² 位数级输入）；gcd(a, m) ≠ 1 时明确报告逆元不存在。经典例：RSA 中 17⁻¹ mod 3120 = 2753。