Двойной Маятник - Теория Хаоса

Время t 0.00 s

θ₁ 0.00°

θ₂ 0.00°

ω₁ 0.00 rad/s

ω₂ 0.00 rad/s

Кинетическая T 0.00 J

Потенциальная V 0.00 J

Полная E 0.00 J

Время Расхождения --

Запустите 3 маятника с крошечными различиями и посмотрите, как усиливаются начальные условия

Показать Траекторию Длина Траектории 500

Длина l₁ (m) 1.0 Длина l₂ (m) 1.0 Масса m₁ (kg) 1.0 Масса m₂ (kg) 1.0 Гравитация g (m/s²) 9.8 Коэффициент Затухания 0.00

θ₁ (rad) 1.57 θ₂ (rad) 1.57

Наблюдайте траекторию системы в фазовом пространстве

Переменная Фазового Пространства

Двойной маятник - это классическое применение механики Лагранжа. Лагранжиан системы определяется как:

L = T - V

где T - кинетическая энергия, а V - потенциальная энергия

Система связанных дифференциальных уравнений, выведенная из уравнений Эйлера-Лагранжа:

θ̈₁ = [m₂l₁ω₁²sinΔθ cosΔθ + m₂g sinθ₂ cosΔθ + m₂l₂ω₂²sinΔθ - (m₁+m₂)g sinθ₁] / [l₁(m₁+m₂) - m₂l₁cos²Δθ]

θ̈₂ = [-m₂l₂ω₂²sinΔθ cosΔθ + (m₁+m₂)(g sinθ₁ cosΔθ - l₁ω₁²sinΔθ - g sinθ₂)] / [l₂(m₁+m₂) - m₂l₂cos²Δθ]

где Δθ = θ₁ - θ₂

Нелинейная связь: Два маятника сильно связаны через тригонометрические функции
Чувствительная зависимость: Крошечные различия в начальных условиях усиливаются экспоненциально
Сохранение энергии: Система никогда не повторяется без затухания

1788: Лагранж публикует 'Аналитическую Механику'
1890-е: Пуанкаре открывает хаотическое поведение
2002: Журнал Nature демонстрирует 'детерминированный хаос' с помощью двойного маятника

Низкая энергия (малые углы): Почти периодическое движение
Средняя энергия: Квази-периодическое, сложные паттерны
Высокая энергия (большие углы): Полностью хаотическое
Используйте демо эффекта бабочки: Наблюдайте, как усиливается разница в 0.001 рад