Doppelpendel - Chaostheorie

Zeit t 0.00 s

θ₁ 0.00°

θ₂ 0.00°

ω₁ 0.00 rad/s

ω₂ 0.00 rad/s

Kinetisch T 0.00 J

Potenziell V 0.00 J

Gesamt E 0.00 J

Divergenzzeit --

Starten Sie 3 Pendel mit tiny Unterschieden und beobachten Sie, wie sich Anfangsbedingungen verstärken

Spur Zeigen Spurlänge 500

Länge l₁ (m) 1.0 Länge l₂ (m) 1.0 Masse m₁ (kg) 1.0 Masse m₂ (kg) 1.0 Schwerkraft g (m/s²) 9.8 Dämpfungskoeffizient 0.00

θ₁ (rad) 1.57 θ₂ (rad) 1.57

Beobachten Sie die Trajektorie des Systems im Phasenraum

Phasenraumvariable

Das Doppelpendel ist eine klassische Anwendung der Lagrange-Mechanik. Die Lagrange-Funktion des Systems ist definiert als:

L = T - V

wobei T die kinetische Energie und V die potentielle Energie ist

Gekoppelte Differentialgleichungen, abgeleitet aus den Euler-Lagrange-Gleichungen:

θ̈₁ = [m₂l₁ω₁²sinΔθ cosΔθ + m₂g sinθ₂ cosΔθ + m₂l₂ω₂²sinΔθ - (m₁+m₂)g sinθ₁] / [l₁(m₁+m₂) - m₂l₁cos²Δθ]

θ̈₂ = [-m₂l₂ω₂²sinΔθ cosΔθ + (m₁+m₂)(g sinθ₁ cosΔθ - l₁ω₁²sinΔθ - g sinθ₂)] / [l₂(m₁+m₂) - m₂l₂cos²Δθ]

wobei Δθ = θ₁ - θ₂

Nichtlineare Kopplung: Zwei Pendel stark durch trigonometrische Funktionen gekoppelt
Empfindliche Abhängigkeit: Tiny Unterschiede in Anfangsbedingungen verstärken sich exponentiell
Energieerhaltung: System wiederholt sich nie ohne Dämpfung

1788: Lagrange veröffentlicht 'Analytische Mechanik'
1890er: Poincaré entdeckt chaotisches Verhalten
2002: Zeitschrift Nature demonstriert 'deterministisches Chaos' mit Doppelpendel

Niedrige Energie (kleine Winkel): Nahezu periodische Bewegung
Mittlere Energie: Quasi-periodisch, komplexe Muster
Hohe Energie (große Winkel): Vollständig chaotisch
Schmetterlingseffekt-Demo verwenden: Beobachten Sie, wie sich 0,001 rad Unterschied verstärkt