Calculadora da função totiente de Euler φ(n)

Calculadora da função totiente de Euler φ(n) | Ferramenta online grátis | Elysia Tools

Guia de uso da ferramenta

Veja quando usar esta ferramenta, o que ela suporta e como os usuários a aplicam.

Fatos principais

Categoria: Math & Numbers
Tipos de entrada: text, select
Tipo de saída: text
Cobertura de exemplos: 4
API pronta: Sim

Visão geral

A calculadora da função totiente de Euler φ(n) determina a quantidade exata de números inteiros positivos em [1, n] que são coprimos com n (isto é, cujo mdc é igual a 1). A ferramenta fatora o número de entrada por divisões sucessivas para inteiros até 10¹², aplica a fórmula do produto de Euler φ(n) = n · Π(1 − 1/p), exibe a relação do Teorema de Euler e oferece a listagem dos primeiros 60 números coprimos.

Quando usar

Ao resolver problemas de teoria dos números, aritmética modular e congruências.
No estudo ou implementação de algoritmos criptográficos baseados em chaves públicas, como o RSA.
Para obter rapidamente a fatoração prima de n e conferir a lista de elementos invertíveis em ℤ/nℤ.

Como funciona

1Insira um número inteiro positivo n no campo de entrada (onde 1 ≤ n ≤ 10¹²).
2Escolha o nível de detalhe desejado: apenas a fatoração e o valor de φ(n), ou incluir a listagem dos coprimos.
3O algoritmo calcula a decomposição em fatores primos distintos e computa a fórmula do produto de Euler.
4Visualize o resultado com a fatoração em fatores primos, o valor final de φ(n), a aplicação do Teorema de Euler e a lista de coprimos se selecionada.

Casos de uso

Estudantes de matemática e computação verificando cálculos de ordens multiplicativas e teoremas de Euler e Fermat.
Pesquisadores e desenvolvedores calculando parâmetros de módulo e expoentes em criptossistemas de chave assimétrica.
Professores demonstrando propriedades multiplicativas e fatores primos em aulas de álgebra e teoria dos números.

Exemplos

1. Cálculo de φ(36) com lista de coprimos

Estudante de Ciência da Computação

Contexto

Precisa conferir os elementos invertíveis no anel ℤ/36ℤ para um exercício de álgebra abstrata.

Problema

Descobrir quantos e quais números entre 1 e 36 são coprimos com 36.

Como usar

Informe 36 no campo do número n e selecione a opção de listar também os coprimos.

n = 36, detail = list

Resultado

Exibe a fatoração 2² × 3², o valor φ(36) = 12, a lista com todos os 12 números coprimos e o Teorema de Euler correspondente.

2. Totiente de um número primo grande

Pesquisador de Criptografia

Contexto

Validando as ordens multiplicativas de elementos em um grupo finito com ordem prima.

Problema

Calcular rapidamente a totiente de Euler para o número primo 97.

Como usar

Digite 97 no campo de entrada e mantenha o nível de detalhe padrão.

Perguntas frequentes

O que representa a função totiente de Euler φ(n)?

Ela conta a quantidade de inteiros positivos no intervalo [1, n] que compartilham apenas o 1 como divisor comum com n (mdc(a, n) = 1).

Qual é a fórmula aplicada para calcular φ(n)?

O cálculo utiliza a fórmula do produto φ(n) = n · Π(1 − 1/p) para todos os fatores primos distintos p que dividem n.

O que acontece quando o número n é primo?

Se n é primo, todos os números de 1 até n − 1 são coprimos com ele, resultando diretamente em φ(n) = n − 1.

Quantos números coprimos são listados no modo estendido?

A opção com listagem apresenta até os primeiros 60 números coprimos menores ou iguais a n.

Qual é o limite superior suportado para a entrada n?

A ferramenta suporta inteiros positivos n de 1 até 10¹² (1 trilhão).

n = 97, detail = value

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Fatos principais

Visão geral

Quando usar

Como funciona

Casos de uso

Exemplos

1. Cálculo de φ(36) com lista de coprimos

2. Totiente de um número primo grande

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