Calculadora de la función φ de Euler

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Guía de uso de la herramienta

Conoce cuándo usar esta herramienta, qué admite y cómo la aplican los usuarios.

Datos clave

Categoría: Math & Numbers
Tipos de entrada: text, select
Tipo de salida: text
Cobertura de ejemplos: 4
API disponible: Sí

Resumen

La calculadora de la función φ de Euler permite determinar con exactitud cuántos enteros positivos menores o iguales a n son coprimos con n. A partir de la descomposición en factores primos por división de prueba, evalúa la fórmula del producto de Euler φ(n) = n · Π(1 − 1/p) para valores de n hasta 10¹², ofreciendo opcionalmente el listado de los primeros 60 coprimos y el enunciado formal del teorema de Euler.

Cuándo usarlo

Al resolver problemas de teoría de números y álgebra modular que requieran calcular la cantidad de enteros coprimos con un módulo dado.
Al simplificar exponentes en congruencias modulares aplicando el teorema de Euler a^φ(n) ≡ 1 (mod n) en criptografía.
Al analizar la estructura de unidades y el orden multiplicativo de elementos en anillos de enteros módulo n.

Cómo funciona

1Introduzca un número entero positivo n dentro del rango permitido (1 ≤ n ≤ 10¹²).
2Seleccione el nivel de detalle deseado: solo la factorización y el valor de φ(n), o incluir la enumeración de coprimos.
3La herramienta factoriza el número mediante división de prueba y aplica la fórmula totiente multiplicativa basada en sus factores primos distintos.
4Revise el desglose algebraico, el valor numérico final de φ(n), la lista de coprimos (si fue seleccionada) y la congruencia del teorema de Euler asociada.

Casos de uso

Estudiantes y docentes que comprueban ejercicios de aritmética modular y álgebra abstracta.
Analistas y desarrolladores de criptografía que necesitan calcular órdenes de grupos multiplicativos para algoritmos tipo RSA.
Participantes de programación competitiva que verifican propiedades multiplicativas y conteo de coprimos para problemas numéricos.

Ejemplos

1. Cálculo de la función totiente para un número compuesto

Estudiante de álgebra

Contexto

Debe determinar el número de unidades en el anillo Z/36Z y comprobar cuáles son los elementos coprimos con 36.

Problema

Calcular φ(36) y enumerar los enteros coprimos correspondientes.

Cómo usarlo

Ingresa 36 en el campo 'Número n' y selecciona 'Enumerar también los coprimos (primeros 60)' en el selector de nivel de detalle.

Resultado

Obtiene la factorización 36 = 2² × 3², el resultado φ(36) = 12, la lista de los 12 coprimos (1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35) y la regla a^12 ≡ 1 (mod 36).

2. Evaluación de φ para un número primo

Estudiante de criptografía

Contexto

Está analizando el pequeño teorema de Fermat como caso particular del teorema de Euler para el primo 97.

Problema

Verificar de forma inmediata el valor totiente y la regla de exponenciación para n = 97.

Cómo usarlo

Ingresa 97 en el campo 'Número n' y mantiene la opción 'Factorización y valor de φ(n)'.

Resultado

Preguntas frecuentes

¿Qué representa la función totiente φ de Euler?

Representa el número de enteros positivos k en el rango [1, n] que son coprimos con n, es decir, cuyo máximo común divisor es mcd(k, n) = 1.

¿Cuánto vale φ(n) si n es un número primo?

Si p es primo, todos los enteros del 1 al p − 1 son coprimos con p, por lo que φ(p) = p − 1.

¿Cuál es el valor máximo de n admitido por la calculadora?

Admite números enteros positivos hasta 10¹² (un billón), factorizados mediante división de prueba.

¿Por qué solo se muestran hasta 60 coprimos en la lista?

Para mantener un rendimiento óptimo y una salida legible, el modo detallado limita la visualización a los primeros 60 números coprimos generados.

¿Cómo se aplica el teorema de Euler con el resultado de φ(n)?

Indica que para cualquier entero a coprimo con n, se cumple la congruencia a^φ(n) ≡ 1 (mod n), permitiendo reducir potencias modulares elevadas.

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Cómo funciona

Casos de uso

Ejemplos

1. Cálculo de la función totiente para un número compuesto

2. Evaluación de φ para un número primo

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