Eulersche φ-Funktion-Rechner

Eulersche φ-Funktion-Rechner | Kostenloses Online-Tool | Elysia Tools

Leitfaden zur Tool-Nutzung

Erfahren Sie, wann dieses Tool passt, was es unterstützt und wie Nutzer es anwenden.

Wichtige Fakten

Kategorie: Math & Numbers
Eingabetypen: text, select
Ausgabetyp: text
Sample-Abdeckung: 4
API bereit: Ja

Überblick

Der Eulersche φ-Funktion-Rechner berechnet die Anzahl aller ganzen Zahlen im Intervall [1, n], die teilerfremd zu n sind. Mittels Probedivision zerlegt das Tool Zahlen bis 10¹² in ihre Primfaktoren, berechnet den exakten Wert nach der Eulerschen Produktformel und liefert auf Wunsch eine Liste der ersten teilerfremden Zahlen sowie den passenden Ausdruck für den Satz von Euler.

Wann verwenden

Berechnung der Ordnung von multiplikativen Gruppen oder Exponenten in RSA-Kryptosystemen.
Lösen zahlentheoretischer Übungsaufgaben und modulares Rechnen mittels Satz von Euler.
Schnelle Überprüfung von Teilerfremdheit und Primfaktorzerlegungen ganzer Zahlen bis 10¹².

So funktioniert es

1Geben Sie eine positive ganze Zahl n bis maximal 10¹² in das Eingabefeld ein.
2Wählen Sie den gewünschten Detailgrad: reine Berechnung von φ(n) oder zusätzliche Auflistung der ersten bis zu 60 teilerfremden Zahlen.
3Das Werkzeug ermittelt die Primfaktorzerlegung von n per Probedivision und wertet die Produktformel φ(n) = n · Π(1 − 1/p) aus.
4Die Ausgabe zeigt die Primfaktoren, die Schritt-für-Schritt-Formel, das Endergebnis sowie das zugehörige Euler-Theorem a^φ(n) ≡ 1 (mod n).

Anwendungsfälle

Bestimmung der Einheitenanzahl im Restklassenring Z/nZ für Algebra- und Zahlentheorievorlesungen.
Schlüsselgenerierung und Modulberechnung in asymmetrischen Verschlüsselungsverfahren wie RSA.
Identifikation von teilerfremden Elementen zur Bestimmung von Generatoren in zyklischen Gruppen.

Beispiele

1. Zusammengesetzte Zahl mit Mehrfachfaktoren

Mathematikstudent

Hintergrund

Für ein Übungsblatt zur elementaren Zahlentheorie soll die Anzahl der invertierbaren Elemente modulo 36 ermittelt und deren Elemente notiert werden.

Aufgabe

Berechnung von φ(36) inklusive Nachweis der Teilerfremden.

Verwendung

Gibt 36 als Zahl n ein und wählt Detailgrad 'Zusätzlich teilerfremde Zahlen auflisten'.

n = 36, detail = list

Ergebnis

Das Tool zeigt 36 = 2² × 3², den Wert φ(36) = 12 sowie die vollständige Liste der 12 teilerfremden Zahlen (1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35).

2. Überprüfung einer Primzahl

Informatiklehrer

Hintergrund

Zur Demonstration des Kleinen Fermatschen Satzes als Spezialfall des Euler-Theorems wird eine Primzahl analysiert.

Aufgabe

Schnelle Verifikation des Totientenwerts für n = 97.

Verwendung

Gibt 97 in das Feld ein und belässt den Detailgrad bei 'Faktorisierung und φ(n)-Wert'.

FAQ

Was besagt die Eulersche φ-Funktion?

Sie gibt an, wie viele positive ganze Zahlen kleiner oder gleich n keinen gemeinsamen Teiler mit n außer 1 haben.

Warum gilt für Primzahlen immer φ(p) = p − 1?

Da eine Primzahl p nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, sind alle p − 1 kleineren Zahlen automatisch teilerfremd zu p.

Welche Obergrenze gilt für die Eingabe von n?

Das Tool verarbeitet positive ganze Zahlen im Bereich von 1 bis 10¹² (eine Billion).

Wie viele teilerfremde Zahlen werden in der Detailansicht aufgelistet?

Im Listenmodus werden maximal die ersten 60 teilerfremden Zahlen explizit ausgegeben.

Wie lautet der Satz von Euler?

Für zwei teilerfremde Zahlen a und n gilt die modulare Kongruenz a^φ(n) ≡ 1 (mod n).

n = 97, detail = value

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