Intégrateur par règle de Simpson (∫f(x)dx)

Intégrateur par règle de Simpson (∫f(x)dx) | Outil en ligne gratuit | Elysia Tools

Guide d'utilisation de l'outil

Découvrez quand utiliser cet outil, ce qu'il prend en charge et comment les utilisateurs l'appliquent.

Points clés

Catégorie: Math & Numbers
Types d’entrée: text, number
Type de sortie: text
Exemples associés: 4
API disponible: Oui

Aperçu

Cet outil calcule l'intégrale définie d'une fonction à l'aide de la méthode de Simpson 1/3 composite. Il génère un tableau détaillé des nœuds avec leurs coefficients respectifs, fournit l'approximation numérique avec une précision d'ordre O(h⁴) et permet de comparer le résultat à une primitive exacte si elle est renseignée.

Quand l’utiliser

Vous devez évaluer numériquement une intégrale définie pour une fonction sans primitive analytique simple, comme exp(-x²).
Vous souhaitez vérifier vos calculs d'analyse numérique ou de quadrature lors d'exercices académiques ou de travaux pratiques.
Vous voulez comparer la précision d'une approximation par Simpson 1/3 à la valeur analytique exacte d'une fonction connue.

Fonctionnement

1Saisissez l'expression mathématique de la fonction f(x), les bornes d'intégration a et b, ainsi qu'un nombre pair de sous-intervalles n.
2L'outil calcule le pas h = (b - a) / n et évalue f(x) à chaque nœud d'abscisse x_i.
3Il applique la pondération de Simpson 1/3 (poids 1 aux extrémités, 4 aux nœuds impairs, 2 aux nœuds pairs intérieurs) pour calculer la somme pondérée S = (h/3) · (f(a) + 4Σf(x_impair) + 2Σf(x_pair) + f(b)).
4Le résultat affiche la valeur approchée arrondie au nombre de décimales choisi, accompagnée du tableau des nœuds et de l'erreur absolue si une primitive F(x) est fournie.

Cas d’usage

Approximation de fonctions gaussiennes et d'intégrales non élémentaires en physique ou en statistiques.
Vérification d'exercices de mathématiques appliquées et d'analyse numérique portant sur les formules de quadrature.
Évaluation rapide d'aires sous des courbes définies par des formules analytiques complexes.

Exemples

1. Intégration d'un polynôme quadratique

Étudiant en sciences

Contexte

Un étudiant étudie les propriétés de la quadrature de Simpson sur les polynômes.

Problème

Calculer l'intégrale de x² entre 0 et 1 et vérifier que la méthode donne une solution exacte.

Utilisation

Entrez f(x) = x^2, a = 0, b = 1, n = 4, et renseignez la primitive exacte x^3/3.

fx = x^2, a = 0, b = 1, n = 4, exactF = x^3/3, decimalPlaces = 6

Résultat

L'intégrateur renvoie S ≈ 0,333333 avec une erreur absolue de 0, confirmant l'exactitude pour le second degré.

2. Intégration numérique d'une fonction gaussienne

Enseignant de physique

Contexte

L'enseignant souhaite illustrer le calcul numérique d'une fonction sans primitive élémentaire.

Problème

Estimer l'intégrale de e^(-x²) entre 0 et 1 avec un pas de 0,1.

Utilisation

Saisissez f(x) = e^(-x^2), la borne a = 0, la borne b = 1 et le nombre de sous-intervalles n = 10.

FAQ

Pourquoi le nombre de sous-intervalles n doit-il être pair ?

La méthode de Simpson 1/3 regroupe les sous-intervalles deux par deux pour ajuster des arcs paraboliques, ce qui nécessite obligatoirement un nombre pair d'intervalles.

Quelles fonctions mathématiques sont reconnues dans l'intégrande ?

Vous pouvez utiliser les fonctions et opérateurs usuels tels que sin, cos, exp, ln, sqrt ainsi que les puissances (^).

Quelle est la précision théorique de la règle de Simpson 1/3 ?

L'erreur globale est d'ordre O(h⁴). La méthode est exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 3.

Que se passe-t-il si la borne inférieure a est supérieure à la borne b ?

Le calcul respecte les conventions mathématiques du calcul intégral : le pas h devient négatif et le signe de l'intégrale est inversé.

Le champ pour la primitive exacte F(x) est-il obligatoire ?

fx = e^(-x^2), a = 0, b = 1, n = 10, decimalPlaces = 6

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1. Intégration d'un polynôme quadratique

2. Intégration numérique d'une fonction gaussienne

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